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求证(a2+bc)/(b+c)+(b2+ac)/(a+c)+(c2+ab)/(b+c)≥a+b+c a,b,c为正整数

来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/11/17 12:01:13
求证(a2+bc)/(b+c)+(b2+ac)/(a+c)+(c2+ab)/(b+c)≥a+b+c a,b,c为正整数
求证(a2+bc)/(b+c)+(b2+ac)/(a+c)+(c2+ab)/(b+c)≥a+b+c a,b,c为正整数
不失一般性,令a≧b≧c,则:a^2≧b^2≧c^2、且a+b≧a+c≧b+c,
∴1/(b+c)≧1/(a+c)≧1/(a+b).
考虑两个序列:a^2≧b^2≧c^2、 1/(b+c)≧1/(a+c)≧1/(a+b),
由排序不等式:顺序和不小于乱序和,有:
a^2/(b+c)+b^2/(a+c)+c^2/(a+b)≧b^2/(b+c)+c^2/(a+c)+a^2/(a+b),
∴a^2/(b+c)+b^2/(a+c)+c^2/(a+b)+bc/(b+c)+ac/(a+c)+ab/(a+b)
 ≧b^2/(b+c)+c^2/(a+c)+a^2/(a+b)+bc/(b+c)+ac/(a+c)+ab/(a+b),
∴(a^2+bc)/(b+c)+(b^2+ac)/(a+c)+(c^2+ab)/(a+b)
 ≧(b^2+bc)/(b+c)+(c^2+ac)/(a+c)+(a^2+ab)/(a+b)
 =b(b+c)/(b+c)+c(c+a)/(a+c)+a(a+b)/(a+b)
 =b+c+a,
∴(a^2+bc)/(b+c)+(b^2+ac)/(a+c)+(c^2+ab)/(a+b)≧a+b+c.