大师作文网数论,初等数论,legendre符号求值
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/18 20:07:50
数论,初等数论,legendre符号求值
（24 | 571）
（41 | 641）
注：571和641是质数
对以上的两个legendre符号求值（需证明步骤)
答案分别是1和-1.
(1) 先用Legendre符号的可乘性,即(a|p)(a|p)=(ab|p).因24=2^3*3,我们用2和3这个特殊数的计算法则:
(2|p)=(-1)^{(p^2-1)/8}.所以(2|571)=(-1)^{(571^2-1)/8}=-1.
(2|p)=(-1)^{[(p+1)/6]},其中中括号表取下整.所以(3|571)=(-1)^{[572/6]}=-1.
所以(24|571)=(-1)^4=1.
(2) 先用互反律(p|q)=(q|p)*(-1)^{(p-1)(q-1)/4},得到(41|641)=(641|41)=(26|41).
再用可乘性,得到(26|41)=(2|41)(13|41).
其中因子(2|41)可算:(-1)^{(41^2-1)/8}=1.
而因子(13|41)再用互反律,得到(13|41)=(41|13)=(2|13)=(-1)^{(13^2-1)/8}=-1.
综上,(41|641)=(2|41)(13|41)=-1.
(1) 先用Legendre符号的可乘性,即(a|p)(a|p)=(ab|p).因24=2^3*3,我们用2和3这个特殊数的计算法则:
(2|p)=(-1)^{(p^2-1)/8}.所以(2|571)=(-1)^{(571^2-1)/8}=-1.
(2|p)=(-1)^{[(p+1)/6]},其中中括号表取下整.所以(3|571)=(-1)^{[572/6]}=-1.
所以(24|571)=(-1)^4=1.
(2) 先用互反律(p|q)=(q|p)*(-1)^{(p-1)(q-1)/4},得到(41|641)=(641|41)=(26|41).
再用可乘性,得到(26|41)=(2|41)(13|41).
其中因子(2|41)可算:(-1)^{(41^2-1)/8}=1.
而因子(13|41)再用互反律,得到(13|41)=(41|13)=(2|13)=(-1)^{(13^2-1)/8}=-1.
综上,(41|641)=(2|41)(13|41)=-1.