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在平面直角坐标系中,直线l的方程为y=-1,过点A(0,1)且与直线l相切的动圆的圆心为点M,记点M得轨迹为曲线E.

来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/11/12 06:38:26
在平面直角坐标系中,直线l的方程为y=-1,过点A(0,1)且与直线l相切的动圆的圆心为点M,记点M得轨迹为曲线E.
(Ⅰ)求曲线E的方程;
(Ⅱ)若直线y=kx+1与曲线E相交于B,C两点,过B点作直线l的垂线,垂足为D,O为坐标原点,判断D,O,C三点是否共线?并证明你的结论.
在平面直角坐标系中,直线l的方程为y=-1,过点A(0,1)且与直线l相切的动圆的圆心为点M,记点M得轨迹为曲线E.
(Ⅰ)解法1:由题意,点M到点A的距离等于它到直线l的距离,
故点M的轨迹是以点A为焦点,l为准线的抛物线.…(2分)
∴曲线E的方程为x2=4y.…(4分)
解法2:设点M的坐标为(x,y),依题意,得|MF|=|y+1|,

x2+(y−1)2=|y+1|,…(2分)
化简得x2=4y.
∴曲线E的方程为x2=4y.…(4分)
(Ⅱ)答:D,O,C三点共线.…(5分)
证明:设点B,C的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),…(6分)
依题意得,
x21=4y1,
x22=4y2.…(7分)
由直线y=kx+1与曲线E消去y得x2-4kx-4=0,…(9分)
解得x1,2=
4k±4
k2+1
2=2k±2
k2+1.
∴x1+x2=4k,x1x2=-4.…(11分)
∴直线OC的斜率kOC=
y2
x2=

x22
4
x2=
x2
4,…(12分)
直线OD的斜率kOD=
−1
x1=
x2
4,…(13分)
∴kOC=kOD,故D,O,C三点共线.…(14分)