已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F,右顶点A,右准线x=4且|AF|=1.
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/10/05 10:22:38
已知椭圆C:
x
(1)∵椭圆C: x2 a2+ y2 b2=1(a>b>0)的右焦点F,右顶点A,右准线x=4且|AF|=1, ∴ a2 c=4,a-c=1, ∴a=2,c=1, ∴b= 3, ∴椭圆C的标准方程为 x2 4+ y2 3=1.(5分) (2)直线l:y=kx+m与椭圆方程联立,消去y可得:(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,(7分) ∴△=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)=0,即m2=3+4k2. xp=− 4km 3+4k2=− 4k m,yp=kxp+m=− 4k2 m+m= 3 m,即P(− 4k m, 3 m).(9分) 假设存在点M满足题意,则由椭圆的对称性知,点M应在x轴上,不妨设点M(t,0). 又Q(4,4k+m),
MP=(− 4k m−t, 3 m),
MQ=(4−t,4k+m), 若以PQ为直径的圆恒过定点M, 则
MP•
MQ=(− 4k m−t)•(4-t)+ 3 m•(4k+m)=t2−4t+3+ 4k m(t−1)=0恒成立, 故
t=1 t2−4t+3=0,即t=1.(13分) ∴存在点M适合题意,点M与右焦点重合,其坐标为(1,0).
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