如图一,在△ABC中,分别以AB,AC为直径在△ABC外作半圆和半圆,其中O 1 和O 2 分别为两个半圆的圆心,F是边
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/21 17:25:17
如图一,在△ABC中,分别以AB,AC为直径在△ABC外作半圆和半圆,其中O 1 和O 2 分别为两个半圆的圆心,F是边BC的中点,点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点。 |
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(1)连结 , 证明: ; (2)如图二,过点A分别作半圆O 1 和O 2 半圆的切线,交BD的延长线和CE的延长线于点P和点Q,连结PQ,若∠ACB=90°,DB=5,CE=3,求线段PQ的长; (3)如图三,过点A作半圆O 2 的切线,交CE的延长线于点Q,过点Q作直线FA的垂线,交BD的延长线于点P,连结PA,证明:PA是半圆O 1 的切线。 |
(1)证明:如图一,∵ ,F分别是AB,AC,BC边的中点,
∴ 且 , 且 ,
∴ ,
∴ ,
∵点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点,
,
,
,
,
;
(2)如图二,延长CA至G,使AG=AQ,连接BG、AE
∵点E是半圆圆弧的中点,
∴AE=CE=3,
∵AC为直径,
∴∠AEC=90°,
∴∠ACE=∠EAC=45°,AC= ,
∵AQ是半圆 的切线,
∴CA⊥AQ,∴∠CAQ=90°,
∴∠ACE=∠AQE=45°,∠GAQ=90°,
∴AQ=AC=AG= ,
同理:∠BAP=90°,AB=AP= ,
∴CG= ,∠GAB=∠QAP,
∴ ,
∴PQ=BG,
∵∠ACB=90°,
∴BC= ,
∴BG= ,
∴PQ= ;
(3)如图三,设直线FA与PQ的垂足为M,过C作CS⊥MF于S,过B作BR⊥MF于R,连接DR、AD、DM。
∵F是BC边的中点,
∴ ,
∴BR=CS,
由(2)已证∠CAQ=90°,AC=AQ,
∴∠2+∠3=90°,
∵FM⊥PQ,
∴∠2+∠1=90°,
∴∠1=∠3,
同理:∠2=∠4,
∴ ,
∴AM=CS,
∴AM=BR,
同(2)可证AD=BD,∠ADB=∠ADP=90°,
∴∠ADB=∠ARB=90°,∠ADP=∠AMP=90°
∴A、D、B、R四点在以AB为直径的圆上,A、D、P、M四点在以AP为直径的圆上,
且∠DBR+∠DAR=180°,
∴∠5=∠8,∠6=∠7,
∵∠DAM+∠DAR=180°,
∴∠DBR=∠DAM
∴ ,
∴∠5=∠9,
∴∠RDM=90°,
∴∠5+∠7=90°,
∴∠6+∠8=90°,
∴∠PAB=90°,
∴PA⊥AB,又AB是半圆直径,
∴PA是半圆 的切线。
∴ 且 , 且 ,
∴ ,
∴ ,
∵点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点,
,
,
,
,
;
(2)如图二,延长CA至G,使AG=AQ,连接BG、AE
∵点E是半圆圆弧的中点,
∴AE=CE=3,
∵AC为直径,
∴∠AEC=90°,
∴∠ACE=∠EAC=45°,AC= ,
∵AQ是半圆 的切线,
∴CA⊥AQ,∴∠CAQ=90°,
∴∠ACE=∠AQE=45°,∠GAQ=90°,
∴AQ=AC=AG= ,
同理:∠BAP=90°,AB=AP= ,
∴CG= ,∠GAB=∠QAP,
∴ ,
∴PQ=BG,
∵∠ACB=90°,
∴BC= ,
∴BG= ,
∴PQ= ;
(3)如图三,设直线FA与PQ的垂足为M,过C作CS⊥MF于S,过B作BR⊥MF于R,连接DR、AD、DM。
∵F是BC边的中点,
∴ ,
∴BR=CS,
由(2)已证∠CAQ=90°,AC=AQ,
∴∠2+∠3=90°,
∵FM⊥PQ,
∴∠2+∠1=90°,
∴∠1=∠3,
同理:∠2=∠4,
∴ ,
∴AM=CS,
∴AM=BR,
同(2)可证AD=BD,∠ADB=∠ADP=90°,
∴∠ADB=∠ARB=90°,∠ADP=∠AMP=90°
∴A、D、B、R四点在以AB为直径的圆上,A、D、P、M四点在以AP为直径的圆上,
且∠DBR+∠DAR=180°,
∴∠5=∠8,∠6=∠7,
∵∠DAM+∠DAR=180°,
∴∠DBR=∠DAM
∴ ,
∴∠5=∠9,
∴∠RDM=90°,
∴∠5+∠7=90°,
∴∠6+∠8=90°,
∴∠PAB=90°,
∴PA⊥AB,又AB是半圆直径,
∴PA是半圆 的切线。
如图,在△ ABC 中,分别以 AB , AC 为直径在△ ABC 外作半圆 和半圆 ,其中 和 分别为两个半圆的圆心.
如图,在等腰三角形△ABC中,O为底边BC的中点,以O为圆心作半圆与AB,AC相切,切点分别为D,E.过半圆上一点F作半
(2013•高淳县一模)如图,在△ABC中,AB=AC,cosA=45.以AB为直径作半圆,圆心为O,半圆分别交BC、A
如图在△ABC中,角C=90°,AC=9,BC=12.O为BC边上一点,以O为圆心,OB为半径作半圆与BC边和AB边分别
在Rt△ABC中,∠C=90°,分别以AB,AC,BC为边向外作半圆,求证:以斜边为直径的半圆面积等于其余两个半圆的面积
如图,在以AB为直径的半圆上取一点C,分别以AC、BC为直径在△ABC外作半圆AEC和BFC.当C点在什么位置上时,图中
如图,在以AB为直径的半圆上取一点C,分别以AC和BC为直径在△ABC外作半圆AEC和BFC.当C点在什么位置时,图中两
如图,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径的半圆O分别交AB、BC于点D、E.
图,在△ABC中,AB=AC,AB=8,BC=12,分别以AB、AC为直径作半圆,则图中阴影部分的面积是( )
如图,在△ABC中,∠A= 90度,O是BC边上一点,以o为圆心的半圆分别与AB,AC边相切于D,
如图,在△ABC中,∠A=90°,O是BC边上一点,以O为圆心的半圆分别与AB、AC边相切于D、E两点,连接OD.
已知,如图,在三角形ABC中,AB=AC。以腰AB为直径作半圆O,分别交BC,AC于点D,E 问