大师作文网已知两正数a,b,满足a+b=1,求:(a+1/a)(b+1/b)的最小值
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/12 18:39:16
已知两正数a,b,满足a+b=1,求:(a+1/a)(b+1/b)的最小值
应用均值定理,答案是25/4,
应用均值定理,答案是25/4,
(a+1/a)(b+1/b)
=(a²+1)(b²+1)/ab
=(a²b²+a²+b²+1)/ab
=[a²b²+a²+b²+(a+b)²]/ab
=[a²b²+2(a²+b²)+2ab]/ab
=ab+2(a/b+b/a)+2
≥ab+2*[2√(a/b*b/a)]+2
=ab+6
等号当且仅当a/b=b/a,即a=b=1/2时成立,则
(a+1/a)(b+1/b)≥ab+6=1/2*1/2+6=25/4.
所以：(a+1/a)(b+1/b)最小值为25/4.
注：均值不等式为：对于正数x、y有：x+y≥2√xy,由(√x-√y)²≥0展开即得.
=(a²+1)(b²+1)/ab
=(a²b²+a²+b²+1)/ab
=[a²b²+a²+b²+(a+b)²]/ab
=[a²b²+2(a²+b²)+2ab]/ab
=ab+2(a/b+b/a)+2
≥ab+2*[2√(a/b*b/a)]+2
=ab+6
等号当且仅当a/b=b/a,即a=b=1/2时成立,则
(a+1/a)(b+1/b)≥ab+6=1/2*1/2+6=25/4.
所以：(a+1/a)(b+1/b)最小值为25/4.
注：均值不等式为：对于正数x、y有：x+y≥2√xy,由(√x-√y)²≥0展开即得.
已知正数a,b满足a+b=1 求ab+(1/ab)的最小值
已知正数a,b满足a+b=1,求ab+1/ab的最小值.紧急,
已知正数a、b满足a+b=1.求ab+(1/ab)的最小值
已知正数a,b满足a+b=1,y=1/a +1/b,求y的最小值.
已知正数a,b满足1/a+2/b=1,求（4a^2+b^2）的最小值
已知正数a,b,x,y,满足a+b=10,a/x+b/y=1,x+y的最小值为18,求a,b 的值
已知正数a、b、c满足3a+4b+5c=1,求1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)的最小值.
已知正数a、b、c满足3a+4b+5c=1,求1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)的最小值
已知正数a、b满足2b+ab+a=30,求y=1/ab的最小值
已知,正数a,b,c,满足a+b+c=1,求1/(3a+2)+1/(3b+2)+1/(3c+2)的最小值多少?
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已知a\b为正数,a+b=2,求根号a²+4+根号b²+1的最小值