椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1的左、右焦点分别为F1、F2,M、N是右准线上的两个动点

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/13 21:27:27

椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1的左、右焦点分别为F1、F2,M、N是右准线上的两个动点
如图,椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦点分别是F1、F2,M、N是椭圆右准线上的两个动点,且向量F1M*向量F2N=0
（1）设c是以mn为直径的圆,试判断原点o于圆c的位置关系
（2）设椭圆离心率为1/2,MN的最小值为2根号15,求椭圆方程

(1) 只要比较原点和圆心之间距离与半径的关系即可
F1(-c,0),F2(c,0),M(a^2/c,yM),N(a^2/c,yN)
向量F1M*向量F2N=(a^2/c +c,yM)(a^2/c -c,yN)=0
即a^4/c^2 - c^2 + yM*yN=0
yM*yN=c^2- a^4/c^2
设C是以MN为直径的圆,MN的中点为（a^2/c,(yM+yN）/2）
圆的半径r为|MN|/2=|yM-yN|/2
原点和圆心之间距离平方
d^2=(0- a^2/c)+(0-(yM+yN）/2)^2
=(yM^2+yN^2)/4 +2yM*yN/4+a^4/c^2
=(yM^2+yN^2)/4 +[c^2- (a^4/c^2))/2 +a^4/c^2
=(yM^2+yN^2)/4 + c^2/2 + a^4/(2c^2)
r^2=[|yM-yN|/2]^2=(yM^2+yN^2)/4 - yM*yN/2
=(yM^2+yN^2)/4 –(c^2- a^4/c^2)/2
d^2-r^2= c^2/2 + a^4/(2c^2)+(c^2- a^4/c^2)/2=c^2>0
d>r,原点和圆心之间距离大于半径,原点在圆外.
（2）本问主要是用均值不等式
椭圆离心率为1/2 ,c/a=1/2,a=2c,
yM*yN=c^2- a^4/c^2=c^2-16c^2=-15c^2,yN=-15c^2/yM
|MN|=|yM-yN|=|yM-(-15c^2/yM)|=|yM+ 15c^2/yM|规定M在X轴上方
|MN|= yM+ 15c^2/yM,当且仅当yM= 15c^2/yM,即yM=√15c,
|MN|min= yM+ 15c^2/yM=√15c +15c^2/√15c=2√15c=2√15,
c=1,a=2c=2,b^2=a^2-c^2=3
椭圆方程为 x^2/4+y^2/3=1

已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1的左焦点F,右顶点A,动点M为右准线上一点（异于右准线与x轴的交点）,FM 已知F1,F2分别是椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左,右焦点,点M是椭圆上一点,且∠F1 设F1,F2分别是椭圆X^2/a+Y^2/b^2=1(a》b》0)的左、右焦点,若在其右准线上存在P,使线段PF1的中垂设F1、F2分别为椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1的左、右两个焦点已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,点A在椭圆C上,且向量AF1× 数学难题!在线等椭圆:X^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左,右焦点分别是F1,F2 右焦点的顶点为A.M 椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,直线l过F2交于椭圆B,C 设F1,F2分别为椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a〉b〉0)的左、右焦点... 已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),F1,F2为左右焦点,A为右顶点,l为左准线,过F1的直线椭圆x^2/16+y^2/9=1的左、右焦点分别为F1,F2,一条直线经过F1与椭圆交与A,B两点. 椭圆x^2/25+y^2/16=1的左,右焦点分别为F1,F2,左,右顶点分别为A,B,则以F1,F2为顶点,以A,B为如图在平面直角坐标系xoy中椭圆c：x^/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0）的左焦点F,左顶点为A,动点M为右准线