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已知数列 a , b , c 为各项都是正数的等差数列，公差为 d ( d ＞0)，在 a , b 之间和 b , c

来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/09/25 17:19:34
已知数列 a , b , c 为各项都是正数的等差数列，公差为 d ( d ＞0)，在 a , b 之间和 b , c 之间共插入 m 个实数后，所得到的 m ＋3个数所组成的数列{ a n }是等比数列，其公比为 q ．
（1）若 a ＝1, m ＝1，求公差 d ；
（2）若在 a , b 之间和 b , c 之间所插入数的个数均为奇数，求所插入的 m 数的乘积（用 a , c , m 表示）
（3）求证： q 是无理数．
已知数列 a , b , c 为各项都是正数的等差数列，公差为 d ( d ＞0)，在 a , b 之间和 b , c
（1）由 a ＝1，且等差数列 a , b , c 的公差为 d ，可知 b ＝1＋ d ， c ＝1＋2 d ，
①若插入的数在 a , b 之间，则1＋ d ＝ q 2 ，1＋2 d ＝ q 3 ，消去 q 可得(1＋2 d ) 2 ＝(1＋ d ) 3 ， d ＝ ．
②若插入的数在 b , c 之间，则1＋ d ＝ q ，1＋2 d ＝ q 3 ，消去 q 可得1＋2 d ＝(1＋ d ) 3 ，此方程无正根．
故所求公差 d ＝
（2）设在 a , b 之间插入 l 个数，在 b , c 之间插入 t 个数，则 l ＋ t ＝ m ，
【由等比中项得：】
在等比数列{ a n }中，∵ a 1 ＝ a , a l +2 ＝ b ＝ , a m +3 ＝ c ， a k a m +4－ k ＝ a 1 a m +3 ＝ ac ( k ＝2,3,···, m ＋2)，
∴( a 2 a 3 … a m +2 ) 2 ＝( a 2 a m +2 )·( a 3 a m +1 )···( a m +2 a 2 )＝( ac ) m + 1
又∵ q l +1 ＝ ＞0， q t +1 ＝ ＞0， l , t 都为奇数， ∴ q 可以为正数，也可以为负数．
① 若 q 为正数，则 a 2 a 3 … a m +2 ＝( ac ) ，所插入 m 个数的积为 ；
②若 q 为负数， a 2 , a 3 ,…, a m +2 中共有＋1个负数，
当是奇数，即 m ＝4 k －2( k ∈N * )时，所插入 m 个数的积为 ；
当是偶数，即 m ＝4 k ( k ∈N * ）时，所插入 m 个数的积为 ．
综上所述，当 m ＝4 k －2( k ∈N * )时，所插入 m 个数的积为 ；
当 m ＝4 k ( k ∈N * ）时，所插入 m 个数的积为 ．
注：可先将 a 2 , a 3 ,…, a m +2 用 a 和 q 表示，然后再利用条件消去 q 进行求解．
（3）∵在等比数列{ a n }，由 q l +1 ＝ ＝ ，可得 q l +1 －1＝ ，同理可得 q m +2 －1＝ ，
∴ q m +2 －1＝2( q l +1 － 1)，即2 q l +1 －1＝ q m +2 ( m ≥ l )，
反证法：假设 q 是有理数，
①若 q 为整数，∵ a , b , c 是正数，且 d ＞0，∴| q |＞1，在2 q l +1 － q m +2 ＝ q (2 q l － q m +1 )＝1 中，∵2 q l +1 － q m +2 是 q 的倍数，故1也是 q 的倍数，矛盾．
②若 q 不是整数，可设 q ＝
abc为各项是正数的等差数列,公差为d(d>0),在a,b之间和b,c之间共插入m个数后,所得到的m+3个数所组成数列﹛ 已知四个数a,b,c,d依次成等差数列,且a+b+c+d=32,b:c=1:3,求这个数列的公差. 已知三角形ABC的内角A、B、C依次成等差数列,公差为D,(1)求角B的大小和公差为D的取值范围?(2)求T=sinA+ （数学归纳法）若a.b.c三个正数成等差数列,公差d≠0,自然数n≥2,求证a^n +c^n ＞2 b^n 设a,b,c,d为正数,求证(a+c/a+b)+（b+d/b+c）+（c+a/c+d)+(d+b/d+a)≥4 1、一个等差数列的前四项之和为124,后四项之和为156,各项和为210,则此数列的项数为：a、5 b、6 c、7 d、 已知数列{a n }为等差数列，数列{b n }是各项均为正数的等比数列，且公比q 1，若a 1 =b 1 , 已知a,b,c,d四个数前三个是以1/2为公比的等比数列,后三个是以-2为公差的等差数列 已知a、b、c、d为有理数,其中a、b、c、d在数轴上的位置如图所示,求|a-b|-2|b-c|+|c+d|的值. 已知A、B为两种黑色粉末,D为红色单质CF都是无色气体.A、B、C、D、E五种物质之间的转化关系 已知a、b、c、d为正实数,a/b=c/d,试比较M=b/(a+b)-d/(c+d)与0的大小关系 设a,b,c,d为正数,且a/b＜c/d 求证：a/b＜a+c/b+d＜c/d