(2010•泸州二模)已知函数f(x)=-cosx,g(x)=ax-π.
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/09/21 03:28:12
(2010•泸州二模)已知函数f(x)=-cosx,g(x)=ax-π.
(Ⅰ)若函数h(x)=g(x)-f(x)在x=
(Ⅰ)若函数h(x)=g(x)-f(x)在x=
π |
3 |
(I)h′(x)=a-sinx,函数h(x)=g(x)-f(x)在x=
π
3时取得极值
∴h′(
π
3)=a−sin
π
3=0∴a=
3
2
当h′(x)<0时,即
3
2−sinx<0时,2kπ+
π
3<x<2kπ+
2π
3,k∈Z
∴h(x)的单调递减区间是[2kπ+
π
3,2kπ+
2π
3],k∈Z
(II)∵f(x)=-cosx∴f′(x)=sinx,设F1(x)=sinx-x,则F1′(x)=cosx-1≤0
所以F1(x)在R上是减函数,故当x≥0时,F1(x)≤F1(0)=0,即sinx≤x=|x|
又设F2(x)=sinx+x,则F2′(x)=cosx+1≥0
所以∴F2(x)在R上是增函数,故当x≥0时,F2(x)≥F2(0)=0
即sinx≥-x=-|x|
∴当x≥0,-|x|≤sinx≤|x|,f′(x)=|sinx|≤|x|
同理可证,当x<0 时,|f′(x)|=|sinx|≤|x|
对任意的x∈R,都有|f′(x)|≤|x|
(III)由g(xn+1)=
2
nf(xn),得xn+1−
π
2=
1
ncosxn
∵|xn+1−
π
2|=
1
n|cosxn|=
1
n|sin(xn−
π
2)|
依据(II)有|xn+1−
π
2| =
1
n|sin (xn−
π
2)|≤
1
n|xn−
π
2|
|xn−
π
3时取得极值
∴h′(
π
3)=a−sin
π
3=0∴a=
3
2
当h′(x)<0时,即
3
2−sinx<0时,2kπ+
π
3<x<2kπ+
2π
3,k∈Z
∴h(x)的单调递减区间是[2kπ+
π
3,2kπ+
2π
3],k∈Z
(II)∵f(x)=-cosx∴f′(x)=sinx,设F1(x)=sinx-x,则F1′(x)=cosx-1≤0
所以F1(x)在R上是减函数,故当x≥0时,F1(x)≤F1(0)=0,即sinx≤x=|x|
又设F2(x)=sinx+x,则F2′(x)=cosx+1≥0
所以∴F2(x)在R上是增函数,故当x≥0时,F2(x)≥F2(0)=0
即sinx≥-x=-|x|
∴当x≥0,-|x|≤sinx≤|x|,f′(x)=|sinx|≤|x|
同理可证,当x<0 时,|f′(x)|=|sinx|≤|x|
对任意的x∈R,都有|f′(x)|≤|x|
(III)由g(xn+1)=
2
nf(xn),得xn+1−
π
2=
1
ncosxn
∵|xn+1−
π
2|=
1
n|cosxn|=
1
n|sin(xn−
π
2)|
依据(II)有|xn+1−
π
2| =
1
n|sin (xn−
π
2)|≤
1
n|xn−
π
2|
|xn−
(2013•莱芜二模)已知函数f(x)=ax+lnx,g(x)=ex.
(2010•台州二模)已知函数f(x)=sinx+cosx,f′(x)是f(x)的导函数.
(2012•广州二模)已知函数f(x)=(cosx+sinx)(cosx-sinx).
(2012•枣庄二模)已知函数f(x)=x−ax(a∈R),g(x)=lnx.
已知函数g(x)= sinx-cosx,且f(x)= (g(x)+cosx)
(2014•泸州三模)已知函数f(x)=ex−12x2+mx,x∈(−∞,0]lnx,x∈(0,+∞),g(x)=12a
(2014•红桥区二模)已知函数f(x)=xlnx,g(x)=(-x2+ax-3)ex(a为实数).
(2012•泰安二模)已知函数f(x)=ax-lnx(a>0),g(x)=8xx+2.
(2012•泸州二模)设a>0,函数f(x)=1x2+a.
(2013•和平区二模)已知函数f(x)=lnx+x2-ax.
(2010•南宁二模)已知f(x)=sinx,g(x)=cosx,则有[f(x)]2+[g(x)]2=1,f(2x)=2
(2014•长沙二模)已知函数f(x)=(sinx+cosx)2+23sin2x.