大师作文网证明每一个闭集是可数个开集的交集
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/06 02:41:21
证明每一个闭集是可数个开集的交集
请给出详细证明
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这里的空间大概是标准拓扑的R^n吧.
对任意闭子集S,定义U(k) = ∪{x∈S} B(x,1/k),其中k为正整数.
即以S中各点为球心,1/k为半径的开球之并.
任意多个开集之并仍是开集,因此U(k)是开集.此外易见S ⊆ U(k).
考虑这可数个开集之交T = ∩{1 ≤ k} U(k),显然有S ⊆ T.
下面证明T ⊆ S.
对任意y∈T,则y∈U(k),对任意正整数k成立.
由U(k)的定义,存在xk∈S,使得y∈B(xk,1/k).
即y与xk的距离 < 1/k,也即xk∈B(y,1/k).
于是S中的点列{xk}收敛到y,由S为闭集,有y∈S.
因此T ⊆ S.
故S = T,为可数个开集之交,证毕.
注:这个结论在一般拓扑空间中是不一定成立的.
例如R上赋予余有限拓扑,单点集虽然是闭集,但不是可数个开集之交.
以上面的证明来说,需要拓扑空间满足T3分离公理和C1可数公理.
对任意闭子集S,定义U(k) = ∪{x∈S} B(x,1/k),其中k为正整数.
即以S中各点为球心,1/k为半径的开球之并.
任意多个开集之并仍是开集,因此U(k)是开集.此外易见S ⊆ U(k).
考虑这可数个开集之交T = ∩{1 ≤ k} U(k),显然有S ⊆ T.
下面证明T ⊆ S.
对任意y∈T,则y∈U(k),对任意正整数k成立.
由U(k)的定义,存在xk∈S,使得y∈B(xk,1/k).
即y与xk的距离 < 1/k,也即xk∈B(y,1/k).
于是S中的点列{xk}收敛到y,由S为闭集,有y∈S.
因此T ⊆ S.
故S = T,为可数个开集之交,证毕.
注:这个结论在一般拓扑空间中是不一定成立的.
例如R上赋予余有限拓扑,单点集虽然是闭集,但不是可数个开集之交.
以上面的证明来说,需要拓扑空间满足T3分离公理和C1可数公理.