数学本质数学的本质?

数学本质
数学的本质?

现代数学在方法上最明显的特色是它的演绎性,就是由基本定义与公理出发,经逻辑推论到所有定理的发展方式.采取这种方法并非偶然,而是有内在的需求.我们要把一套概念讲清楚,必须用比较简单的概念来解释,但是这些概念又需要再加澄清,如此继续下去,如果不曾周而复始得到一个什么也说不清的恶性循环,便会无限延伸下去,达到一个不可知的前端.人类寻求知识的目的在组织自己对外在的认识,而去了解事物的表像与本质,因此在没有坠入不可知的深渊前,必定会在某些我们直觉已认为意义相当清晰的概念处停住.我们把这些概念作为理论发展的基础,不再去解释它们的意义,也就是说暂时抛开它们的具体内容.这些概念我们称为基础概念.从此以后在我们理论发展的过程中,一切的概念都要由这些基础概念定义出,否则便不能采用.基础概念间如果彼此毫无关联,显然无法用来建立起一套有意义的理论,那么在联系起基础概念的叙述中,我们又必须挑出一些在认识上感觉最明白的作为出发点,这些叙述我们称为公理.自此我们便用逻辑的方法,由基础概念与公理演绎出所有的定理,而一切不能由这个程序推得的叙述,我们便不认为它是这套理论里正确的命题.现代数学中各门理论,基本上都是由这个演绎方法组织起的.不过比较复杂的理论,除了自己的基础概念及公理外,常常要引用别的理论的结果.所以严格说起来,那些理论的基础概念及公理也必须包括进来.但是为表达的简明,我们通常不这样全套写出.譬如大部分的理论都引用集合论的概念与定理,而一切数学理论系统必须立足于逻辑系统上,否则便无法作推论了.
现在我们来看一个极简单的演绎系统.
倘若我们想了解线段全等的一般性质,我们可用两个基础概念：S（所有线段的集合）,=（全等关系）.我们有两条公理：
公理一：
对于 S 中任何元素 x 而言,x=x .
公理二：
对于 S 中任何元素 x,y,z 而言,若x=y且y=z,则x=z.
这套小理论当然已引用了逻辑与集合论中的概念,所以严格说起来已相当繁杂了.现在我们来证明一小定理：
定理：
对 S 中任何元素 x,y 而言,若x=y则y=x.
证明：若令公理二中的 z 为 y,便知x=y且y=y,则y=x.但是公理一告诉我们y=y,已有的假设告诉我们x=y,故可证得y=x.
由上面的简单证明可看出,事质上 S 是不是所有线段的集合,「=」是不是线段全等的关系并不要紧.对于任意给的集合 S 及其上的二元关系「=」,只要它们满足公理一、二,则定理自然成立.例如我们可令 S 为所有自然数的集合,「=」指同余于某个模数的关系.
前面说过在演绎系统中,基础概念原来的具体内容已抛弃,所以我们可用其它的具体事物来解释它,任何这种解释如果又满足所有公理,则我们说这套解释构成原来理论的一个模型.上面的观察告诉我们一旦定理得证,则此定理在任何模型中也成立,我们就不需要在各个具体的系统中重复同样的证明了.
总结来说,演绎方法是组织起数学知识的最好方法.因为他可以极大程度的消去我们认识上的不清与错误,如果有怀疑的余地,也都回归到对基础概念及公理的怀疑.而且定理函盖了种种的具体特例,精简与组织了我们对外在世界的认识.