大师作文网圆锥曲线复习 (16 17:17:43)
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/11/14 09:41:06
圆锥曲线复习 (16 17:17:43)
A,B是抛物线y^2=4x上的两点,且OA⊥OB,
（1）求A,B两点的横坐标之积和纵坐标之积
（2）求证：直线AB过顶点
（3）求弦AB中点P的轨迹方程.
（4）求△AOB面积的最小值.
A,B是抛物线y^2=4x上的两点,且OA⊥OB,
（1）求A,B两点的横坐标之积和纵坐标之积
（2）求证：直线AB过顶点
（3）求弦AB中点P的轨迹方程.
（4）求△AOB面积的最小值.
设A（x1,y1）,B（x2,y2）,中点P（x0,y0）
（1）kOA=y1/x1,kOB=y2/x2
∵ OA⊥OB
∴ kOAkOB=-1
∴ x1x2+y1y2=0
∵ y1^2=4x1,y2^2=4x2
∴ y1^2/4* y2^2/4+y1y2=0
∵ y1≠0,y2≠0
∴ y1y2=-16
∴ x1x2=16
（2）∵ y1^2=4x1,y2^2=4x2
∴ （y1-y2）(y1+y2)=4(x1-x2)
∴ （y1-y2）/(x1-x2)=4/(y1+y2)
∴kAB=4/(y1+y2)
∴ 直线AB y-y1=4/(y1+y2)(x-x1)
∴ y=4x/(y1+y2)+y1-4x1/(y1+y2)
∴ y=4x/(y1+y2)+(y1^2-4x1+y1y2)/(y1+y2)
∵ y1^2=4x1,y1y2=-16
∴ y=4x/(y1+y2)-16/(y1+y2)
∴ y=4(x-4)/(y1+y2)
∴ AB过定点（4,0）
（3）设OA∶y=kx,代入y^2=4x
得：x=0,x=4/k^2
∴ A（4/k^2,4/k）
同理,以-1/k代k得B（4k^2,-4k）
∴ x0=2(k^2+1/k^2),y0=2(1/k-k)
∵k^2+1/k^2=(1/k-k)^2+2
∴x0/2=(y0/2)^2+2
即y0^2=2x0-8
∴ 中点P轨迹方程为y^2=2x-8
（4）直线AB过定点P（4,0）
S△AOB=S△AOP+S△BOP=1/2*OP*（|y1|+|y2|）=2（|y1|+|y2|）≥4根号（|y1y2|）=16
当且仅当|y1|=|y2|=4时,等号成立
（1）kOA=y1/x1,kOB=y2/x2
∵ OA⊥OB
∴ kOAkOB=-1
∴ x1x2+y1y2=0
∵ y1^2=4x1,y2^2=4x2
∴ y1^2/4* y2^2/4+y1y2=0
∵ y1≠0,y2≠0
∴ y1y2=-16
∴ x1x2=16
（2）∵ y1^2=4x1,y2^2=4x2
∴ （y1-y2）(y1+y2)=4(x1-x2)
∴ （y1-y2）/(x1-x2)=4/(y1+y2)
∴kAB=4/(y1+y2)
∴ 直线AB y-y1=4/(y1+y2)(x-x1)
∴ y=4x/(y1+y2)+y1-4x1/(y1+y2)
∴ y=4x/(y1+y2)+(y1^2-4x1+y1y2)/(y1+y2)
∵ y1^2=4x1,y1y2=-16
∴ y=4x/(y1+y2)-16/(y1+y2)
∴ y=4(x-4)/(y1+y2)
∴ AB过定点（4,0）
（3）设OA∶y=kx,代入y^2=4x
得：x=0,x=4/k^2
∴ A（4/k^2,4/k）
同理,以-1/k代k得B（4k^2,-4k）
∴ x0=2(k^2+1/k^2),y0=2(1/k-k)
∵k^2+1/k^2=(1/k-k)^2+2
∴x0/2=(y0/2)^2+2
即y0^2=2x0-8
∴ 中点P轨迹方程为y^2=2x-8
（4）直线AB过定点P（4,0）
S△AOB=S△AOP+S△BOP=1/2*OP*（|y1|+|y2|）=2（|y1|+|y2|）≥4根号（|y1y2|）=16
当且仅当|y1|=|y2|=4时,等号成立