大师作文网求证康托尔展开式的唯一性证明
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/14 10:56:09
求证康托尔展开式的唯一性证明
即每一个小于n!的非负整数x都可以唯一的写成x=a1·1!+a2·2!+…+an-1(n-1)!,其中ai是不超过i的非负整数,i=1,2,…,n-1
即每一个小于n!的非负整数x都可以唯一的写成x=a1·1!+a2·2!+…+an-1(n-1)!,其中ai是不超过i的非负整数,i=1,2,…,n-1
存在性很好证,基于这个观察：1·1!2·2!3·3!4·4!1=5!,像加法的进位一样,用归纳递归都很好证,不说了,现在证唯一性,x=a11!a22!a33!a44!=b11!b22!b33!b44!,则相减得0=(a1-b1)1!(a2-b2)2!(a3-b3)3!(a4-b4)4!,显然-i≤ai-bi≤i,假设a4-b4≠0则a4-b4的绝对值至少是1,所以(a4-b4)4!的绝对值至少是4!,因为4!等于11!22!33!1,所以(a4-b4)4!的绝对值一定大于前三项的之和的绝对值,是不可能抵消的,所以a4=b4,同理ai=bi