大师作文网已知函数f（x）=（1+㏑x）／x,（x≥1） （1）试判断函数f（x）的单调性,并说明理由
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/18 15:57:38
已知函数f（x）=（1+㏑x）／x,（x≥1） （1）试判断函数f（x）的单调性,并说明理由
（2）若f（x）≥k／x+1恒成立,求实数k的取值范围
（3）求证：[（n+1）!]²＞（n+1）e（n-2）（这里为e的n-2次方）,（n∈N*）
（2）若f（x）≥k／x+1恒成立,求实数k的取值范围
（3）求证：[（n+1）!]²＞（n+1）e（n-2）（这里为e的n-2次方）,（n∈N*）
(1)
f(x) = (1 + lnx)x⁻¹
f'(x) = (1/x)x⁻¹ + (1+lnx)(-1)x⁻² = -x⁻²lnx
x ≥1时,lnx ≥0,x⁻² > 0,f'(x) ≤ 0,减函数
(2)
令g(x) = (x+1)f(x) = x⁻¹(x+1)(1+lnx)
g'(x) = - x⁻²(x+1)(1+lnx) + x⁻¹(1+lnx) + x⁻¹(x+1)(1/x)
= x⁻²[-(x+1)(1+lnx) + x(1+lnx) + x+1]
= x⁻²(x - lnx)
x ≥1时,x⁻² > 0,x - lnx > 0,g'(x) >0,增函数
若f(x) ≥k/(x+1)恒成立,
只需求g(x)在x ≥1时的最小值,x = 1时,g(x)取最小值2.
实数k的取值范围:k < 2
(3)
n = 1时,左边= 4,右边=2/e < 1,不等式成立
n = 2时,左边= 36,右边=3,不等式成立
假定n-1 (>2)时不等式成立:(n!)² > ne^(n-3)
[(n+1)!]² = (n+1)²(n!)² > (n+1)²*ne^(n-3) = (n+1)e^(n-2)[n(n+1)/e]
于是只需证明 n(n+1)/e >1,n(n+1) > e
n>2时,n(n+1)>2显然成立.
证毕
f(x) = (1 + lnx)x⁻¹
f'(x) = (1/x)x⁻¹ + (1+lnx)(-1)x⁻² = -x⁻²lnx
x ≥1时,lnx ≥0,x⁻² > 0,f'(x) ≤ 0,减函数
(2)
令g(x) = (x+1)f(x) = x⁻¹(x+1)(1+lnx)
g'(x) = - x⁻²(x+1)(1+lnx) + x⁻¹(1+lnx) + x⁻¹(x+1)(1/x)
= x⁻²[-(x+1)(1+lnx) + x(1+lnx) + x+1]
= x⁻²(x - lnx)
x ≥1时,x⁻² > 0,x - lnx > 0,g'(x) >0,增函数
若f(x) ≥k/(x+1)恒成立,
只需求g(x)在x ≥1时的最小值,x = 1时,g(x)取最小值2.
实数k的取值范围:k < 2
(3)
n = 1时,左边= 4,右边=2/e < 1,不等式成立
n = 2时,左边= 36,右边=3,不等式成立
假定n-1 (>2)时不等式成立:(n!)² > ne^(n-3)
[(n+1)!]² = (n+1)²(n!)² > (n+1)²*ne^(n-3) = (n+1)e^(n-2)[n(n+1)/e]
于是只需证明 n(n+1)/e >1,n(n+1) > e
n>2时,n(n+1)>2显然成立.
证毕
已知函数f(x)=1+lnx\x (1）试判断f(x)的单调性,并说明理由（2）f(x)>=k\x+1恒成立,求k的取值
判断并证明函数f(x）=x/x+1的单调性
已知函数f（x）=2x/x的平方＋1,判断单调性
已知函数f（x）=Inx /x(1)判断函数的单调性
已知f（x）=2-x分之x+1 判断函数的单调性 并证明
已知函数f(x)=log2(1+x)/(1-x）,请用定义域判断f(x)的单调性
已知函数f(x)=lg(x^2-x+1)/(x^2+1),判断f(x)在（-1,1）上的单调性,并给出证明
(1)已知函数f(x)=log2(4^x+1)-x.判断F(x)在【0,+∞）上的单调性并证明 (
判断函数f(x)=lg[（根号1+x^2）-x] 的单调性
1.判断函数f（x）=x+1的单调性 2.判断函数f（x）=1/x+1的单调性
判断函数f（x）=x+1/x在（0,1）上的单调性,并证明结论.
判断并证明函数f(x)=x/1+x的单调性（没学过导数）