奇完全数是否存在呀?有人证明了没呀?

奇完全数是否存在呀?有人证明了没呀?

完全数
毕达哥拉斯学派发现了完全数.在正整数N的正约数中,除了N本身外,其它约数之和如等于N时,N就被称为完全数.如：6；28.
6：其约数,1；2；3.其和,1+2+3=6.
28：其约数,1；2；4；7；14.其和,1+2+4+7+14=28.
……
关于完全数,有两个问题：
⑴是否有奇数完全数?（欧拉提出来的）
⑵完全数是有限个,还是无穷个?
问题⑴是否有奇数完全数?
可以证明没有.
因为所有正整数N可用幂的方式表示.幂的方式又可用质因展开表示.可以归纳为下列几类：
Pn
2N+1 （P1P2…）n
Pa1Pb2…
（Pª1Pb2…）n
Nn 2n
2N 2ªPb…
（2P…）n
（2aPb…）n
我们应该注意到,欧几里得的《几何原本》早就给这些正整数的约数有了三个定义：
其约数之和大于其本身为盈数；
其约数之和小于其本身为亏数；
其约数之和等于其本身为完全数.
在什么情况之下,才形成上述三大类数?
我们知道,一个正整数的约数个数有其公式：
（aP1+1）*（bP2+1）……（rPn+1）
由此可证明：
当 正整数N n=Pn 时,其约数个数随指数n的递增,而成算术级数递增.其约数个数是：n+1（个）.其Pn 不计,其约数之和等于（Pn -1）÷（P-1）.而小于Pn ,是一个亏数.
当正整数Nn =2n+1为奇数时.其质因分解为（p1p2……）n ；Pa1Pb2……；（Pa1Pb2……）n 时,其Nn 不计,其约数之和还是小于NN,是一个亏数.其实是不含2的质因子的多次幂数,都是亏数.
当正整数Nn=2N为偶数时,其质因分解为（2P1……）n ；2aPª……；（2aPb2……）n 时.其Nn 不计,其约数之和随n的递增与素因子的增多,而使其数Nn 形成亏数；完全数；盈数等.也就是说只有偶数才有亏数,盈数,完全数之分.现例举指数与素因子的关系看：
P1P2其约数个数是（1P1+1）*（1P2+1）=4（个）.
（P1P2）2 其约数个数是（2P1+1）*（2P2+1）=9（个）
P1P2P3其约数个数是（1P1+1）*（1P2+1）*（1P3+1）=8（个）.
（P1P2P3）2 其约数个数是（2P1+1）*（2P2+1）*（2P3+1）=27（个）.
……
根据幂和质因分解的关系,可归纳正整合数的约数为二至三部分：
⑴各质因子的公约数：
P01=P02=P03=……P0n=1.
⑵各质因子的自身幂约数：
P1；P21；P31；……；Pn1.
P2；P22；P32；……；Pn2.
……
Pn；P2n；P3n；……Pnn.
⑶各质因子的交汇相乘约数：
P1P2；P21P2；P31P2；……Pn1P2；
P1P22；P21P22；P31P22；……Pn1P22；
……
Pn1Pn2Pn3……Pn-1n.
欧几里得的《几何原本》中曾给出过完全数的定义,并证明了完全数的一个重要性质：如果2p-1是素数,则：2p-1（2p-1）是完全数.
欧几里得和人们都没注意到完全数的约数的关系：是一个乘法分配律的性质：
2（2p-1）；22（2p-1）；23（2p-1）……；2p-1（2p-1）.
所以完全数,把其三部分约数相加就得到了上述的乘法分配律性质.具体简化就得到下列等式：Pn+Pn+1+Pn+2+……+P2n=P2n+1-Pn.例：24（25-1）.
24（25-1）其约数有；
⑴各质因子的公约数,20=（25-1）0=1
⑵各质因子的幂约数,2；22=4；23=8；24=16；（25-1）=31.
⑶各质因子的交汇相乘约数,2（25-1）=26-2；22（25-1）=27-22；23（25-1）=28-23；24（25-1）=29-24.
所以把三部分约数相加得到了下列等式：
1+2+22+23+24+（25-1）+（26-2）+（27-22）+（28-23）=29-24=496.简化得：24+25+26+27+28=29-24=496
因此,从Pn+Pn+1+Pn+2+……+P2n=P2n+1-Pn 旳等式中.我们己经知道了各质因子的公约数1与质因子（2p-1）是如何消除而得到了完全数.
现在对（P2n+1-1）进行计算分析：要使（P2n+1-1）为素数,同时消除公约数1与消除质因子（P2n+1-1）,只有P=2时才成立.所以也是唯一的.因此奇数不具备这些性质.
所以没有奇数完全数.
另外,2还有一个奇妙的性质：2+2=22；22+22=23；；23+23=24；……