大师作文网高二解析几何双曲线问题.要过程!
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/09/22 15:42:57
高二解析几何双曲线问题.要过程!
P、Q分别是双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的两条渐近线上各一点且满足|OP|·|OQ|=a^2+b^2,则PQ中点M的轨迹方程是______
P、Q分别是双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的两条渐近线上各一点且满足|OP|·|OQ|=a^2+b^2,则PQ中点M的轨迹方程是______
设P(x1,y1)Q(x2,y2),且P在y=(b/a)x上,Q在y=(-b/a)x上
则：y1=bx1/a,y2=-bx2/a
由于:|OP|·|OQ|=a^2+b^2
则：√[x1^2+y1^2]*√[x2^2+y2^2]=a^2+b^2
则：√[x1^2(1+b^2/a^2)]*√[x2^2(1+b^2/a^2)]=a^2+b^2
x1x2*(a^2+b^2)/a^2=a^2+b^2
则：x1x2=a^2
设M(x0,y0)
则：x0=(x1+x2)/2,y0=(y1+y2)/2=(b/2a)*(x1-x2)
则：x1+x2=2x0 ----(1)
x1-x2=(2ay0)/b ----(2)
(1)^2-(2)^2得：
(x1+x2)^2-(x1-x2)^2=4x0^2-4a^2y0^2/b^2
即4x1x2=4x0^2-4a^2y0^2/b^2
4a^2=4x0^2-4a^2y0^2/b^2
a^2b^2=b^2x0^2-a^2y0^2
则：x0^2/a^2-y0^2/b^2=1
即PQ中点M的轨迹方程是:x^2/a^2-y^2/b^2=1
则：y1=bx1/a,y2=-bx2/a
由于:|OP|·|OQ|=a^2+b^2
则：√[x1^2+y1^2]*√[x2^2+y2^2]=a^2+b^2
则：√[x1^2(1+b^2/a^2)]*√[x2^2(1+b^2/a^2)]=a^2+b^2
x1x2*(a^2+b^2)/a^2=a^2+b^2
则：x1x2=a^2
设M(x0,y0)
则：x0=(x1+x2)/2,y0=(y1+y2)/2=(b/2a)*(x1-x2)
则：x1+x2=2x0 ----(1)
x1-x2=(2ay0)/b ----(2)
(1)^2-(2)^2得：
(x1+x2)^2-(x1-x2)^2=4x0^2-4a^2y0^2/b^2
即4x1x2=4x0^2-4a^2y0^2/b^2
4a^2=4x0^2-4a^2y0^2/b^2
a^2b^2=b^2x0^2-a^2y0^2
则：x0^2/a^2-y0^2/b^2=1
即PQ中点M的轨迹方程是:x^2/a^2-y^2/b^2=1