已知圆O:x2+y2=1和点M(1,4).
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/10/09 13:22:02
已知圆O:x2+y2=1和点M(1,4).
(1)过点M向圆O引切线,求切线的方程;
(2)求以点M为圆心,且被直线y=2x-8截得的弦长为8的圆M的方程;
(3)设P为(2)中圆M上任意一点,过点P向圆O引切线,切点为Q,试探究:平面内是否存在一定点R,使得
(1)过点M向圆O引切线,求切线的方程;
(2)求以点M为圆心,且被直线y=2x-8截得的弦长为8的圆M的方程;
(3)设P为(2)中圆M上任意一点,过点P向圆O引切线,切点为Q,试探究:平面内是否存在一定点R,使得
PQ |
PR |
(1)若过点M的直线斜率不存在,直线方程为:x=1,为圆O的切线; …(1分)
当切线l的斜率存在时,设直线方程为:y-4=k(x-1),即kx-y-k+4=0,
∴圆心O到切线的距离为:
|−k+4|
k2+1=1,解得:k=
15
8
∴直线方程为:15x-8y+17=0.
综上,切线的方程为:x=1或15x-8y+17=0…(4分)
(2)点M(1,4)到直线2x-y-8=0的距离为:d=
|2−4−8|
5=2
5,
又∵圆被直线y=2x-8截得的弦长为8,
∴r=
(2
5)2+42=6…(7分)
∴圆M的方程为:(x-1)2+(y-4)2=36…(8分)
(3)假设存在定点R,使得
PQ
PR为定值,设R(a,b),P(x,y),
PQ2
PR2=λ
∵点P在圆M上,∴(x-1)2+(y-4)2=36,则x2+y2=2x+8y+19…(10分)
∵PQ为圆O的切线,∴OQ⊥PQ,
∴PQ2=PO2-1=x2+y2-1,PR2=(x-a)2+(y-b)2,
∴x2+y2-1=λ[(x-a)2+(y-b)2],即2x+8y+19-1=λ(2x+8y+19-2ax-2by+a2+b2)
整理得:(2-2λ+2aλ)x+(8-8λ+2bλ)y+(18-19λ-a2λ-b2λ)=0(*)
若使(*)对任意x,y恒成立,则
当切线l的斜率存在时,设直线方程为:y-4=k(x-1),即kx-y-k+4=0,
∴圆心O到切线的距离为:
|−k+4|
k2+1=1,解得:k=
15
8
∴直线方程为:15x-8y+17=0.
综上,切线的方程为:x=1或15x-8y+17=0…(4分)
(2)点M(1,4)到直线2x-y-8=0的距离为:d=
|2−4−8|
5=2
5,
又∵圆被直线y=2x-8截得的弦长为8,
∴r=
(2
5)2+42=6…(7分)
∴圆M的方程为:(x-1)2+(y-4)2=36…(8分)
(3)假设存在定点R,使得
PQ
PR为定值,设R(a,b),P(x,y),
PQ2
PR2=λ
∵点P在圆M上,∴(x-1)2+(y-4)2=36,则x2+y2=2x+8y+19…(10分)
∵PQ为圆O的切线,∴OQ⊥PQ,
∴PQ2=PO2-1=x2+y2-1,PR2=(x-a)2+(y-b)2,
∴x2+y2-1=λ[(x-a)2+(y-b)2],即2x+8y+19-1=λ(2x+8y+19-2ax-2by+a2+b2)
整理得:(2-2λ+2aλ)x+(8-8λ+2bλ)y+(18-19λ-a2λ-b2λ)=0(*)
若使(*)对任意x,y恒成立,则
已知圆O的方程为x2+y2=1,直线l1过点A(3,0),且与圆O相切.
已知直线l:y=2x+m(m>0)与圆O:x2+y2=4相切,且过椭圆:(y2/a2)+(x2/b2)=1(a>b>0)
已知点A(0,1)和圆x2+y2=4上一动点P,动点M满足MA=2AP,则点M的轨迹方程是( )
已知点P(5,0)和圆O:x2+y2=16,过P任意作直线l与圆O交于A、B两点,求弦AB中点M轨迹方程.
已知点M(1,3),自点M向圆x2+y2=1引切线,则切线方程是______.
已知圆O:x2+y2=5和点A(1,2),则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积=______.
已知点O是原点,直线y=kx+b与圆x2+y2=83相交于两点M,N.若b2=2(k2+1),则OM•ON=( )
在平面直角坐标系xoy中,已知圆0:x2十y2=16,点p(1,2),M,N为圆O上不同的两
已知m∈R,直线l:mx-(m2+1)y=4m和圆C:x2+y2-8x+4y+16=0.
已知圆O的方程为x2+y2=1,直线l1过点A(3,0),且与圆O相切. 已知圆O的方程为x2+y2=1,直线l1过点A
已知:(x2+y2+1)2-4=0,则x2+y2=______.
已知椭圆Rx2/a2+y2/b2=1的右焦点F,y轴右侧的点A在椭圆E上运动,直线MA与圆O,x2+y2=b2相切于点M