(2001•上海)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点E、F分别BB1、DD1上,且AE⊥A1B,AF⊥A1D
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/09/20 11:42:01
(2001•上海)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点E、F分别BB1、DD1上,且AE⊥A1B,AF⊥A1D.
(1)求证:A1C⊥平面AEF;
(2)若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角(或直角),则在空间中有定理:若两条直线分别垂直于两个平面,则这两条直线所成的角与这两个平面所成的角相等.
试根据上述定理,在AB=4,AD=3,AA1=5时,求平面AEF与平面D1B1BD所成的角的大小.(用反三角函数值表示)
(1)求证:A1C⊥平面AEF;
(2)若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角(或直角),则在空间中有定理:若两条直线分别垂直于两个平面,则这两条直线所成的角与这两个平面所成的角相等.
试根据上述定理,在AB=4,AD=3,AA1=5时,求平面AEF与平面D1B1BD所成的角的大小.(用反三角函数值表示)
证明:(1)如图,因为CB⊥平面A1B,所A1C在平面A1B上的射影为A1B
由A1B⊥AE,AE⊂平面A1B,得A1C⊥AE,
同理可证A1C⊥AF
因为A1C⊥AF,A1C⊥AE
所以A1C⊥平面AEF
(2)过A作BD的垂线交CD于G,
因为D1D⊥AG,所以AG⊥平面D1B1BD
设AG与A1C所成的角为α,则α即为平面AEF与平面D1B1BD所成的角.
由已知,
AD
AB=
DG
AD计算得DG=
9
4.
如图建立直角坐标系,则得点A(0,0,0),G(
9
4,3,0),A1(0,0,5),C(4,3,0),AG={
9
4,3,0},A1C={4,3,−5},
因为AG与A1C所成的角为α
所以cosα=
AG•A1C
|AG|•|A1C|=
12
2
25α=arccos
12
2
25
由定理知,平面AEF与平面CEF所成角的大小为arccos
12
2
25
由A1B⊥AE,AE⊂平面A1B,得A1C⊥AE,
同理可证A1C⊥AF
因为A1C⊥AF,A1C⊥AE
所以A1C⊥平面AEF
(2)过A作BD的垂线交CD于G,
因为D1D⊥AG,所以AG⊥平面D1B1BD
设AG与A1C所成的角为α,则α即为平面AEF与平面D1B1BD所成的角.
由已知,
AD
AB=
DG
AD计算得DG=
9
4.
如图建立直角坐标系,则得点A(0,0,0),G(
9
4,3,0),A1(0,0,5),C(4,3,0),AG={
9
4,3,0},A1C={4,3,−5},
因为AG与A1C所成的角为α
所以cosα=
AG•A1C
|AG|•|A1C|=
12
2
25α=arccos
12
2
25
由定理知,平面AEF与平面CEF所成角的大小为arccos
12
2
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在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别是线段A1D、AC上的点,且DE=AF=1/3AC,M、N分别是BB1、
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