(2011•恩施州模拟)己知函数f(x)=Asin2(ωx+ϕ)(A>0,ω>0,0<ϕ<π2),且y=f(x)最大值为
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(2011•恩施州模拟)己知函数f(x)=Asin
(1)y=Asin2(ωx+ϕ)=
A
2−
A
2cos(2ωx+2ϕ)
又y的最大值为2,且A>0,有
A
2+
A
2=2⇒A=2.
相邻两对称轴间距为2,即
T
2=2⇒T=4⇒
2π
2ω=4(ω>0),则ω=
π
4f(x)过点(1,2),代入有cos(
π
2+2ϕ)=−1 ⇒
π
2+2ϕ=2kπ+π(k∈Z)⇒ϕ=kπ+
π
4,又ϕ∈(0,
π
2),∴ϕ=
π
4,则f(x)=1+sin
π
2x;(6分)
(2)由(1)f(x)=1+sin
π
2x,有f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4,f(4)=1,
又y=f(x)的周期为4,且2011=4×502+3
故f(1)+f(2)++f(2011)=4×502+f(1)+f(2)+f(3)=2011.(12分)
A
2−
A
2cos(2ωx+2ϕ)
又y的最大值为2,且A>0,有
A
2+
A
2=2⇒A=2.
相邻两对称轴间距为2,即
T
2=2⇒T=4⇒
2π
2ω=4(ω>0),则ω=
π
4f(x)过点(1,2),代入有cos(
π
2+2ϕ)=−1 ⇒
π
2+2ϕ=2kπ+π(k∈Z)⇒ϕ=kπ+
π
4,又ϕ∈(0,
π
2),∴ϕ=
π
4,则f(x)=1+sin
π
2x;(6分)
(2)由(1)f(x)=1+sin
π
2x,有f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4,f(4)=1,
又y=f(x)的周期为4,且2011=4×502+3
故f(1)+f(2)++f(2011)=4×502+f(1)+f(2)+f(3)=2011.(12分)
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