大师作文网请用局部变动法证明几何平均数一定小于等于算术平均数
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/19 18:14:03
请用局部变动法证明几何平均数一定小于等于算术平均数
“两个数a和b,现在我已经知道它们的和是S,那么它们的乘积最大是多少?或许大家都知道,当两个数的和一定时,两数相等时乘积最大.也就是说,问题的答案就是((a+b)/2)^2.证明这个结论很简单,我们可以通过简单的代数运算看出,对于任意的a和b,((a+b)/2)^2不会小于ab.用前面的减去后面的,我们有
((a+b)/2)^2 - ab
= (a^2+2ab+b^2)/4 - ab
= (a^2-2ab+b^2)/4
= ((a-b)/2)^2
可以看到,前者减去后者的差始终非负,并且仅当a=b时差值为0.
下面考虑n个数a1,a2,...,an,现在已经知道它们的和是S,那么它们的乘积最大是多少?你也许不知道相关的定理,以前也不曾想过这个问题,但稍加思考你会说,当这n个数都相等时乘积最大.你或许以为你是凭直觉想到了这个结论,但事实上你的大脑已经不自觉地使用了局部变动法.固定其它n-2个数不变,只考虑其中两个数,那么很显然这两个数的和也已经固定了,并且增大它们的积也就可以改进整个问题的答案.而要想让这两个数的积最大,它们必须得相等才行.运用局部变动原理,则只有任两个数都相等,这n个数的乘积才会最大.此时,这n个数的值都等于(a1+a2+...+an)/n,只有这样它们的乘积才可能是最大的,任何其它情况下的a1*a2*...*an都比它小.
仿照上面给出的式子,我们把这个结论写成如下形式：
( (a1+a2+...+an)/n )^n >= a1*a2*...*an
两边同时开n次方,我们的结论赫然出现：n个数的算术平均数大于等于它们的几何平均数.”
这个太笼统,那位仁兄能够帮忙把这个写成数学的证明过程,要数学语言,符号表示的那种,吾感激不尽.
“两个数a和b,现在我已经知道它们的和是S,那么它们的乘积最大是多少?或许大家都知道,当两个数的和一定时,两数相等时乘积最大.也就是说,问题的答案就是((a+b)/2)^2.证明这个结论很简单,我们可以通过简单的代数运算看出,对于任意的a和b,((a+b)/2)^2不会小于ab.用前面的减去后面的,我们有
((a+b)/2)^2 - ab
= (a^2+2ab+b^2)/4 - ab
= (a^2-2ab+b^2)/4
= ((a-b)/2)^2
可以看到,前者减去后者的差始终非负,并且仅当a=b时差值为0.
下面考虑n个数a1,a2,...,an,现在已经知道它们的和是S,那么它们的乘积最大是多少?你也许不知道相关的定理,以前也不曾想过这个问题,但稍加思考你会说,当这n个数都相等时乘积最大.你或许以为你是凭直觉想到了这个结论,但事实上你的大脑已经不自觉地使用了局部变动法.固定其它n-2个数不变,只考虑其中两个数,那么很显然这两个数的和也已经固定了,并且增大它们的积也就可以改进整个问题的答案.而要想让这两个数的积最大,它们必须得相等才行.运用局部变动原理,则只有任两个数都相等,这n个数的乘积才会最大.此时,这n个数的值都等于(a1+a2+...+an)/n,只有这样它们的乘积才可能是最大的,任何其它情况下的a1*a2*...*an都比它小.
仿照上面给出的式子,我们把这个结论写成如下形式：
( (a1+a2+...+an)/n )^n >= a1*a2*...*an
两边同时开n次方,我们的结论赫然出现：n个数的算术平均数大于等于它们的几何平均数.”
这个太笼统,那位仁兄能够帮忙把这个写成数学的证明过程,要数学语言,符号表示的那种,吾感激不尽.
引理：( (a1+a2+...+an)/n )^n >= a1*a2*...*an (an>0)
证明：反设此式不总是成立,设a1到an的和不变,即左边不变时,右边的最大值在a1到an的某一取值下得到,则( (a1+a2+...+an)/n )^n < a1*a2*...*an,必有a1到an不全相等（否则是等号）,不妨设a1≠a2.
令a'1=a'2=(a1+a2)/2,a'i=ai(2
证明：反设此式不总是成立,设a1到an的和不变,即左边不变时,右边的最大值在a1到an的某一取值下得到,则( (a1+a2+...+an)/n )^n < a1*a2*...*an,必有a1到an不全相等（否则是等号）,不妨设a1≠a2.
令a'1=a'2=(a1+a2)/2,a'i=ai(2