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已知:如图,矩形ABCD中,AB=4,BC=7,点P是AD边上一个动点,PE⊥PC,PE交AB于点E,对应点E也随之在A

来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/11/12 06:02:23
已知:如图,矩形ABCD中,AB=4,BC=7,点P是AD边上一个动点,PE⊥PC,PE交AB于点E,对应点E也随之在AB上运动,连接EC.

(1)若△PEC是等腰三角形,求PD的长;
(2)当∠PEC=30°时,求AP的长.
已知:如图,矩形ABCD中,AB=4,BC=7,点P是AD边上一个动点,PE⊥PC,PE交AB于点E,对应点E也随之在A
(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠D=90°,AD=BC=7,DC=AB=4.
∴∠APE+∠AEP=90°,
∵PE⊥PC,
∴∠EPC=90°,
∴∠APE+∠DPC=90°,
∴∠AEP=∠DPC,(1分)
∴△AEP∽△DPC,

PE
CP=
AP
DC,(2分)
∵△PEC是等腰三角形,∠EPC=90°,
∴PE=CP,
∴AP=DC=4,
∴PD=AD-AP=3;(3分)
(2)设PD=x,则AP=7-x,

PE
CP=
AP
DC,

PE
CP=
7−x
4,(4分)
在△CPE中,∠EPC=90°,∠PEC=30°,

CP
PE=tan30°=

3
3,

PE
CP=
3,

7−x
4=
3,
∴x=7−4
3,
∴AP=4
3.(5分)