若m,n∈正整数,试求出所有有序整数对(m,n),使得(n^3+1)/(mn-1)∈整数
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/28 23:26:46
若m,n∈正整数,试求出所有有序整数对(m,n),使得(n^3+1)/(mn-1)∈整数
答案是:(1,2)(1,3)(2,5)(3,5)(2,2)(2,1)(3,1)(5,2)(5,3) 共九对.
大体是由对称性知m和n一样,然后用同余的知识解.
参见《高中数学竞赛培优教程(专题讲座)》(浙江大学出版社)第20页【例2.5】.
已知(mn-1)|(n^3+1)
因为(mn-1,m)=1,所以(mn-1,m^3)=1
所以由(mn-1)|(n^3+1)可以得出(mn-1)|(n^3+1)*m3
但(n^3+1)*m&3=(m^3*n^3-1)+(m^3+1)
又因为(mn-1)|(m^3*n^3-1),所以(mn-1)|(m^3+1)
若m=n,则(n^3+1)/(mn-1)=(m^3+1)/(n^2-1)=n+1/(n-1),即1/(n-1)是整数,只能是n=2,答案是(2,2)
若mn,不妨设m>n
若n=1,则2/(m-1)是整数,m=2,3,此时答案是(2,1),(3,1)
若m>n>=2,因n^3+1对n同余1,mn-1对n同余-1,
令n^3+1=q(mn-1),必有q对n同余-1,故可设q=kn-1,于是
kn-1=(n^3+1)/(mn-1)
大体是由对称性知m和n一样,然后用同余的知识解.
参见《高中数学竞赛培优教程(专题讲座)》(浙江大学出版社)第20页【例2.5】.
已知(mn-1)|(n^3+1)
因为(mn-1,m)=1,所以(mn-1,m^3)=1
所以由(mn-1)|(n^3+1)可以得出(mn-1)|(n^3+1)*m3
但(n^3+1)*m&3=(m^3*n^3-1)+(m^3+1)
又因为(mn-1)|(m^3*n^3-1),所以(mn-1)|(m^3+1)
若m=n,则(n^3+1)/(mn-1)=(m^3+1)/(n^2-1)=n+1/(n-1),即1/(n-1)是整数,只能是n=2,答案是(2,2)
若mn,不妨设m>n
若n=1,则2/(m-1)是整数,m=2,3,此时答案是(2,1),(3,1)
若m>n>=2,因n^3+1对n同余1,mn-1对n同余-1,
令n^3+1=q(mn-1),必有q对n同余-1,故可设q=kn-1,于是
kn-1=(n^3+1)/(mn-1)
试求出所有的整数n,使得n3-n+5/n2+1 是一个整数
求所有正整数对(m,n)使得5^m+5^n可以表示成为两个整数的平方和
1,将正整数如图所示的规律列下去,若用有序数对(n,m)表示第n排,从左到右第m个数,如(4,3)表示整数9,则(17,
1.满足|mn|+|m-n|=1的整数对(m,n)的个数是?
n为正整数,a,b,c为有理数,对所有整数m,代数式1/n×m³+am²+bm+c的值都是整数,求n
证明:4/1(m*m+n*n-m-n)必为整数..m,n都是正整数...
归纳 猜想 论证是否存在大于1的正整数m,使得f(n)=(2n+7)*3^n+1对任意正整数n都能被m整除?若存在,求出
是否存在正整数m,使得f(n)=(2n+7)*3^n+9对任意自然数n都能被m整除.若存在,求出最大的m值
有序数对(m,n)中的整数m,n满足m-n=-6,且点P(m,n)在第二象限,写出所有符合条件的数对.
有序数对(m,n)中的整数m,n满足m-n=-6,且点p(m,n)在第二象限,写出符合所有符合条件的数对
关于平面直角坐标系.有序数对(m,n)中的整数m,n,满足m-n=-6,且点P(m,n)在第二象限.写出所有符合条件的序
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