正交矩阵的题x属于Rn,求证存在一正交矩阵O,使得Ox=(/x/,0,....,0)

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/19 21:29:29

正交矩阵的题
x属于Rn,求证存在一正交矩阵O,使得Ox=(/x/,0,....,0)

不能做图片编辑,只好以文字描述了,可能要转化为书面的形式才能看明白：
1、了解Givens矩阵（初等旋转矩阵）
Givens矩阵Tij的定义是：第i行第i列、第j行第j列元素都为c ,第i行第j列元素为s ,第j行第i列元素为-s .除了上面提到的i行i列、j行j列之外,主对角线上的其它元素都为1,上面没有提到的矩阵元素都是0,且c、s满足：c的平方加上s的平方等于1.
Tij也可以记做Tij(c,s) .
2、显然,Given矩阵是正交矩阵,且Tij（c,s）的逆矩阵为Tij（c,-s）.
3、假设x＝（x1,x2,x3,...,xn）'.
先考虑x1不为0的情形.对x构造Givens矩阵T12(c,s).其中,c＝x1/根号（x1的平方加上 x2的平方）,s＝x2/根号（x1的平方加上 x2的平方）.计算可得：T12x＝(根号（x1的平方加上 x2的平方）,0,x3,...xn)'.
可见,第二个元素被变换为0.
仿照上面的步骤,再对T12x构造Givens矩阵T13(c,s),其中,c＝根号（x1的平方加上 x2的平方）/根号（x1的平方加上 x2的平方加上x3的平方）,
s＝x3/根号（x1的平方加上 x2的平方加上x3的平方）.
计算可得：T13(T12x)=(根号（x1的平方加上 x2的平方加上 x3的平方）,0,0,x4,...,xn).
可见,第三个元素也被化为了0.
如此继续下去,最后对T1 n-1 x 构造Givens矩阵,T1n（c,s）,即可得到：
T1n（T1 n-1 ...T12）x ＝ |x| e1
令T＝T1n 乘以 T1 n-1 乘以 ...乘以T12,显然T也是正交矩阵.
上面是对于x1不等于0的情况得证；
当x1等于0时,考虑x1＝ ...=x k-1＝0,xk不等于0（其中k界于1和n之间）,此时,上面的步骤只需要从T1k开始即可.
证毕.
事实上,这是《矩阵论》一书中的一个定理,该书为程云鹏主编,西北工业出版社出版,定理4.3,位于198页,好像网上有电子版的书,去下载来看就很明白了.

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