(2004•湖北)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC与BD交于点E,CB与CB1交于点F.
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/10/07 08:26:20
(2004•湖北)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC与BD交于点E,CB与CB1交于点F.
(I)求证:A1C⊥平BDC1;
(II)求二面角B-EF-C的大小(结果用反三角函数值表示).
(I)求证:A1C⊥平BDC1;
(II)求二面角B-EF-C的大小(结果用反三角函数值表示).
证明:(Ⅰ)∵A1A⊥底面ABCD,则AC是A1C在底面ABCD的射影.
∵AC⊥BD.∴A1C⊥BD.
同理A1C⊥DC1,又BD∩DC1=D,
∴A1C⊥平面BDC1.
(Ⅱ)取EF的中点H,连接BH、CH,
∵BE=BF=
2
2,∴BH⊥EF.
同理CH⊥EF.
∴∠BHC是二面角B-EF-C的平面角.
又E、F分别是AC、B1C的中点,∴EF
∥
.
1
2AB1.
∴△BEF与△CEF是两个全等的正三角形.
故BH=CH=
3
2BF=
6
4.
于是在△BCH中,由余弦定理,得cos∠BHC=
BH2+CH2−BC2
2BH•CH=
(
6
4)2+(
6
4)2−1
2×
∵AC⊥BD.∴A1C⊥BD.
同理A1C⊥DC1,又BD∩DC1=D,
∴A1C⊥平面BDC1.
(Ⅱ)取EF的中点H,连接BH、CH,
∵BE=BF=
2
2,∴BH⊥EF.
同理CH⊥EF.
∴∠BHC是二面角B-EF-C的平面角.
又E、F分别是AC、B1C的中点,∴EF
∥
.
1
2AB1.
∴△BEF与△CEF是两个全等的正三角形.
故BH=CH=
3
2BF=
6
4.
于是在△BCH中,由余弦定理,得cos∠BHC=
BH2+CH2−BC2
2BH•CH=
(
6
4)2+(
6
4)2−1
2×
如图,平行四边形ABCD中的对角线AC、BD相交于O,EF经过点O与AD延长线交于E,与CB延长线交于F.
如图,在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是BC边的中点,AB=4,则OE的长为( )
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为CC1的中点,AC交BD于点O,求证:A1O⊥平面MBD.
如图,在菱形ABCD中,E是AD的中点,EF⊥AC交CB的延长线于点F.求证AB与EF互相平分
如图,在四边形abcd中,ac与bd交与点o,且ac=bd,e、f分别是ab、cd的中点,ef分别交与ac、bd于点h、
如图 已知在正方形ABCD中,E为CB延长线上一点,F在AD边上 且BE=DF,EF与AC交于点O
如图1,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点E,AF平分∠BAC,交BD于点F. (1)求证:EF+ AC=AB
如图,在矩形ABCD中,DE//AC,DE与BC的延长线交于点E,AE交CD于F,BF交AC于G
在平行四边形ABCD中,AC,BD交于点O,AE垂直于BC于点E,EO交AD与点F,求证,平行四边形AECF为矩形
已知:如图,在▱ABCD中,AC,BD交于点O,EF过点O,分别交CB,AD的延长线于点E,F,求证:AE=CF.
(2013•茂名)如图,在▱ABCD中,点E是AB边的中点,DE与CB的延长线交于点F. (
如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,角BAC的平分线AE交BD于点F,交BC于点E &nbs