设可微函数f(x)满足limx→0f(x)x=0,xf′(x)+∫x0f(x-u)du=sin2x,则( )
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/21 12:23:19
设可微函数f(x)满足
lim |
x→0 |
f(x) |
x |
因为f(x)可微,
所以f(x)连续,则由
lim
x→0
f(x)
x=0,可得:
f(0)=0,f′(0)=
lim
x→0
f(x)−f(0)
x−0=0,
令t=x-u,得:
∫x0f(x−u)du=
∫x0f(t)dt,
从而:
xf′(x)+
∫x0f(x−u)du=xf′(x)+
∫x0f(t)dt
由:xf′(x)+
∫x0f(x−u)du=sin2x,
得:
f′(x)=
sin2x−
∫x0f(t)dt
x,x≠0,
∴f″(0)=
lim
x→0
f′(x)−f′(0)
x−0=
lim
x→0
sin2x−
∫x0f(t)dt
x2
=
lim
x→0
sin2x
x2−
lim
x→0
∫x0f(t)dt
x2=1−
lim
x→0
f(x)
2x=1−0=1>0,
从而:f′(0)=0,f″(0)>0,
∴f(0)是f(x)的极小值,
故选:A.
所以f(x)连续,则由
lim
x→0
f(x)
x=0,可得:
f(0)=0,f′(0)=
lim
x→0
f(x)−f(0)
x−0=0,
令t=x-u,得:
∫x0f(x−u)du=
∫x0f(t)dt,
从而:
xf′(x)+
∫x0f(x−u)du=xf′(x)+
∫x0f(t)dt
由:xf′(x)+
∫x0f(x−u)du=sin2x,
得:
f′(x)=
sin2x−
∫x0f(t)dt
x,x≠0,
∴f″(0)=
lim
x→0
f′(x)−f′(0)
x−0=
lim
x→0
sin2x−
∫x0f(t)dt
x2
=
lim
x→0
sin2x
x2−
lim
x→0
∫x0f(t)dt
x2=1−
lim
x→0
f(x)
2x=1−0=1>0,
从而:f′(0)=0,f″(0)>0,
∴f(0)是f(x)的极小值,
故选:A.
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已知limx趋近0 [6+f(x)]/x^2=36,求limx趋近0 [(sin6x)+xf(x)]/x^3=?