大师作文网已知函数f(x)=ax^3-lnx(a∈R)
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/10/05 09:31:01
已知函数f(x)=ax^3-lnx(a∈R)
(1)若f(x)=ax^3-lnx(a∈R)的极小值为1,求a的值
(2)若对任意x∈(0,1],都有丨f(x)丨≥1成立,求a的取值范围
(1)若f(x)=ax^3-lnx(a∈R)的极小值为1,求a的值
(2)若对任意x∈(0,1],都有丨f(x)丨≥1成立,求a的取值范围
f'(x)=3ax^2-1/x
设极值点是xo,则有f'(xo)=3axo^2-1/xo=0,3axo^3-1=0
f(xo)=axo^3-lnxo=1
lnxo=1/3-1=-2/3
xo=e^(-2/3)
故有3axo^3=3ae^(-2)=1
a=e^2/3
(2)对任意的X属于（0,1]有|f(x)|>=1成立.则有|ax^3-lnx|>=1
即有ax^3-lnx>=1或ax^3-lnx=1/x^3+lnx/x^3或a=1,即有a>=1
同理设g(x)=-1/x^3+lnx/x^3
g'(x)=3/x^4+(1/x*x^3+lnx*3x^2)/x^6=(4+3lnx)/x^4=0得到x=e^(-4/3)
故在X=e^(-4/3)处有极小值是g(e^(-4/3))=-e^4-(4/3)e^4=-7e^4/3
即有a=1或a
再问： 你第一问怎么跟楼下的不一样
再答： 楼下的解错了。 f((3a)^(-1/3))=a(3a)^(-1/3*3)-ln(3a)^(-1/3) =a(3a)^(-1)+ln(3a)...(这里错了，应该是+1/3ln(3a))
设极值点是xo,则有f'(xo)=3axo^2-1/xo=0,3axo^3-1=0
f(xo)=axo^3-lnxo=1
lnxo=1/3-1=-2/3
xo=e^(-2/3)
故有3axo^3=3ae^(-2)=1
a=e^2/3
(2)对任意的X属于（0,1]有|f(x)|>=1成立.则有|ax^3-lnx|>=1
即有ax^3-lnx>=1或ax^3-lnx=1/x^3+lnx/x^3或a=1,即有a>=1
同理设g(x)=-1/x^3+lnx/x^3
g'(x)=3/x^4+(1/x*x^3+lnx*3x^2)/x^6=(4+3lnx)/x^4=0得到x=e^(-4/3)
故在X=e^(-4/3)处有极小值是g(e^(-4/3))=-e^4-(4/3)e^4=-7e^4/3
即有a=1或a
再问： 你第一问怎么跟楼下的不一样
再答： 楼下的解错了。 f((3a)^(-1/3))=a(3a)^(-1/3*3)-ln(3a)^(-1/3) =a(3a)^(-1)+ln(3a)...(这里错了，应该是+1/3ln(3a))