二次型f(x1,x2,x3)=2(x1^2+x2^2+x3^2+x1x2+x1x3+x2x3)

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/09/21 20:43:35

二次型f(x1,x2,x3)=2(x1^2+x2^2+x3^2+x1x2+x1x3+x2x3)
设f(x1,x2,x3)=2(x1^2+x2^2+x3^2+x1x2+x1x3+x2x3)
写出二次型f(x1,x2,x3)所对应的对称矩阵A
求正交变换x=Ty 将二次型f(x1,x2,x3)化成标准型并判断他的正定性.

2 1 1
1 2 1
1 1 2
|A-λE| =
2-λ 1 1
1 2-λ 1
1 1 2-λ
c1+c2+c3
4-λ 1 1
4-λ 2-λ 1
4-λ 1 2-λ
r2-r1,r3-r1
4-λ 1 1
0 1-λ 0
0 0 1-λ
= (4-λ)(1-λ)^2.
所以A的特征值为 4,1,1
A-4E=
-2 1 1
1 -2 1
1 1 -2
-->
r3+r1+r2,r1+2r2
0 -3 3
1 -2 1
0 0 0
-->
0 1 -1
1 -2 1
0 0 0
-->
0 1 -1
1 0 -1
0 0 0
得(A-4E)x=0的基础解系为 α1=(1,1,1)^T.
同样,A-E =
1 1 1
1 1 1
1 1 1
-->
1 1 1
0 0 0
0 0 0
得(A-E)x=0的基础解系为 α2=(1,-1,0)^T,α3=(1,1,-2)^T.
α1,α2,α3已两两正交,单位化后构成矩阵T=
1/√3 1/√2 1/√6
1/√3 -1/√2 1/√6
1/√3 0 -2/√6
则X=TY是正交变换,且二次型化为 f=4y1^2+y2^2+y3^2
因为二次型的正惯性指数为3(等于n),所以是正定的.

将二次型f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1x3-6x2x3 化为标准型和规范型.. 求一个正交变换,化二次型f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1x3+2x2x3为标准型. 若二次型是ψ(X1,X2,X3)=X1^2-2X1X2+2X1X3-2X2X3+4X2^2,用初等变换法求其标准型以及线 f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1x3+2x2x3,求一正交变换x=py,将此二次型化为标准型.那是X f(x1,x2,x3)=x1^2-4x1x2+4x1x3-2x2^2+8x2x3-2x3^2 写出对应矩阵,用正交变换化 f(x1,x2,x3)=x1^2-2x2^2-2x3^2-4x1x2+4x1x3+8x2x3化为标准型.并写出所做的非退关于线性代数问题,设二次型f（x1,x2,x3）=x1*x1+2*x2*x2+x3*x3+2*t*x1x2+2*x1*x 设f(x1,x2,x3)=x1²-4x1x2+8x1x3+4x2²+4x2x3+x3²,求设f（X1,X2,X3）=X1^2+X2^2+X3^3+4X1X2+4X1X3+4X2X3 求1一正交变换化f为标准形 [线代]二次型的矩阵(x1^2)+2(x2^2)+3(x3^2)+4(x1x2)-4(x2x3)=x1(x1+4x2+0 化二次型f=x1^2+3x2^2+5x3^2+2x1x2-4x1x3为标准型,并求所用的变换矩阵设二次型f=(x1,x2,x3)=2x1^2+ax3^2+2x2x3 经正交变换(x1,x2,x3)=p(y1,y2,y