证明：剩余类加法运算和乘法运算与代表元的选取无关

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/12 10:38:10

1、证明：只需证明在模n的剩余类环中,对任意c∈[a],d∈[b],总有
[c+d]=[a+b],[cd]=[ab].
这是因为当c∈[a],d∈[b]时,c≡a(modn),d≡b(modn),所以
c+d≡a+b(modn),cd≡ab(modn),即证.
2、证明：假设在模n的剩余类环中,[b]与[c]均为[a]的逆元,即
[a][b]=[b][a]=[1],[a][c]=[c][a]=[1]
则[b]=[b][1]=[b]([a][c])=([b][a])[c]=[1][c]=[c].即证.
3、充分必要条件：n=1或n为素数
证明：当n=1时,结论显然成立,当n为素数时,对模n的剩余类中任意非零元[a].由于[a]=[0],故a≠0（modp）即p不整除a,再由素数的性质知(a,p)=1,于是存在一对整数s,t,使得as+pt=1此时p|1-as,从而有as=sa≡1(modp)即[a][s]=[s][a]=[1],这表明[a]存在逆元,且[s]为[a]的逆元

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