送分 证明有限生成群的指数有限子群是有限生成群

送分 证明有限生成群的指数有限子群是有限生成群

我的证明有点麻烦,分为几步.
首先,作为基础的结论,一个子群H的左陪集与右陪集有一一对应(aH对应于Ha^(-1)).
于是指数有限等价于左陪集有限,等价于右陪集有限.
其次证明:有限个指数有限的子群的交仍是指数有限的子群.
只需要证明两个子群的情况,然后归纳即得.
设H,K是G的两个指数有限的子群.
考虑集合KH(未必是子群),它可以写成H的左陪集的无交并.
H在G中指数有限,故KH中只有有限个H的左陪集.
易见H在KH中的左陪集与H∩K在K中的左陪集一一对应(aH对应于aH∩K,其中a∈K).
于是H∩K在K中指数有限,又K在G中指数有限,故H∩K也在G中指数有限.
然后我们将命题归结到正规子群的情形.
设H是G中指数有限的子群.考虑H的任意共轭子群g^(-1)Hg.
由H在G中指数有限,易得g^(-1)Hg也在G中指数有限(g共轭作用是G的自同构).
此外,由H在G中指数有限,H只有有限个不同的共轭子群(同一右陪集中的元素给出相同共轭子群).
设N为H的全体共轭子群(包括H自身)之交,则N是H的子群.
N是G中有限个指数有限的子群之交,故在G中指数有限.
此外由N的构造,易见N在共轭作用下不变,即为G的正规子群.
如果我们证明了N是有限生成的,由N是H中指数有限的子群,即得H也是有限生成的.
最后我们证明:有限生成群的指数有限的正规子群是有限生成的.
设G是一个有限生成群,H是G的正规子群,且在G中指数有限,设|G/H| = n.
取G的一个有限子集A,由G的一组有限生成元及它们的逆元组成.
由生成元的定义,G中元素均可表为由A中元素组成的有限长的序列.
考虑其中长度不超过n的序列(只有有限种可能),对应的元素全体构成G的有限子集,记为B.
取C = B∩H,则C为H的有限子集.
由H是G的正规子群,对任意g∈G,有gHg^(-1) = H,于是gCg^(-1)仍是H的子集.
取D为全体形如gCg^(-1)的集合之并,其中g取遍B中的元素(包括单位元).
则D仍是一个有限集合,且为H的子集.我们证明由D中元素可以生成H.
设h为H中的任一元素,可表为有限长的序列:h = a1a2a3...am,其中ak∈A,k = 1,2,...,m.
若m ≤ n,由C的构造,可知h∈C,进而是D中元素.
若m > n,考虑n+1个元素:a1,a1a2,a1a2a3,...,a1a2a3...a(n+1).
由|G/H| = n,其中存在两个元素属于同一个左陪集.
设a1a2...ai·H = a1a2...aj·H (i < j),则有c = a(i+1)...aj∈H,由其长度j-i ≤ n,有c∈C.
取b = a1a2...ai∈B,则d = bcb^(-1)∈D.设h' = ba(j+1)...am,则h = dh'.
于是h'也为H中的元素,且序列长度i+m-j < m.
重复上述过程,可不断的提出D中的元素使序列长度减小,直至序列长度不超过n.
因此H中的元素可表为D中元素的乘积,D中的元素可以生成H.
证毕.
多说一点.化到正规子群情形的那一步可以使用陪集空间上的置换表示.
证明更简洁同时也更抽象,有兴趣可以想想.
找了本参考书,其中用以下三步证明这个结论.
1.任何可由r个元素生成的群一定同构于秩为r的自由群Fr的某个商群.
2.秩为r的自由群Fr中,指数为n的子群同构于秩为1+n(r-1)的自由群.
3.由r个元素生成的群中,指数为n的子群可由1+n(r-1)个元素生成.
这个生成元的个数比我的方法给出的少多了(而且是最佳下界).