已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上点到两焦点的距离和为23,短轴长为12,直线l与椭圆C交于M、N两点.
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/09/24 22:31:37
已知椭圆C:
x
(Ⅰ)由椭圆C:
x2 a2+ y2 b2=1(a>b>0)上点到两焦点距离和为 2 3, 得2a= 2 3,即a= 1 3; 由短轴长为 1 2,得2b= 1 2,即b= 1 4. ∴椭圆C的方程为:9x2+16y2=1. (Ⅱ)证明:当直线MN⊥x轴时,∵直线MN与圆O:x2+y2= 1 25相切, ∴直线MN方程为:x= 1 5或x=- 1 5, 当直线方程为x= 1 5,得两点分别为( 1 5, 1 5)和( 1 5,− 1 5), 故 OM• ON=0,∠MON= π 2. 同理当x=- 1 5时,∠MON= π 2. 当直线MN与x轴不垂直时,设直线MN:y=kx+b,直线MN与与圆O:x2+y2= 1 25的交点M(x1,y1),N(x2,y2), 由直线MN与圆O相切得d= |b| k2+1= 1 5,即25b2=k2+1,① 联立 y=kx+b 9x2+16y2=1,得(9+16k2)x2+32kbx+16b2-1=0, ∴△>0,x1+x2=− 32kb 9+16k2,x1x2= 16b2−1 9+16k2, 由 OM• ON=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+b)(kx2+b) =(1+k2)x1x2+kb(x1+x2)+b2 = 25b2−k2−1 9+16k2,② 由①②,得 OM• ON=0,即∠MON= π 2, 综上,∠MON= π 2为定值. (Ⅲ)不妨设∠XOM=θ,则∠XON=θ± π 2, 由三角函数定义知M(|OM|cosθ,|OM|sinθ),N(±|ON|sinθ,±|ON|cosθ), ∵M,N都在9x2+16y2=1上, ∴ 1 |OM|2=(9cos2θ+16sin2θ)(9sin2θ+16cos2θ) =9×16+(9-16)2sin2θcos2θ =9×16+(9-16)2• 1 4sin22θ, 又sin22θ∈[0,1],故( 1 |OM|• 1 |ON|)2∈[9×16,( 9+16 2)2], ∴|OM|的取值范围是[ 2 25, 1 12].
(2014•上饶二模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),过椭圆C的右焦点F的直线l交椭圆于A,B两点,交
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),直线l:y=kx+m(k≠0,m≠0),直线l交椭圆C与P,Q两点.(
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),直线l:y=kx+m(k≠0,m≠0),直线l交椭圆C与P,Q两点.
已知椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),过椭圆的右焦点且与x轴垂直的直线与椭圆交于P、Q两点,椭圆的右准线
已知F1,F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线交椭圆C于A、B两
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,过F1的直线交C于A、B两点,若AB⊥AF
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12,直线l过点A(4,0),B(0,2),且与椭圆C相切于点
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),直线l为圆O:x2+y2=b2的一条切线,且经过椭圆的右焦点,记椭圆的
(2014•江苏模拟)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F1(-3,0),过点F1作一条直线l交
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),F(2,0)为其右焦点,过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.
已知离心率为63的椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)与圆C:x2+(y-3)2=4交于A,B两点,且∠ACB=
设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点为A,椭圆C上两点P,Q在X轴上的射影分别为左焦点F1和右焦点F2
|