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(2009•东城区一模)设x1,x2是函数f(x)=a3x3+b2x2−a2x(a>0)的两个极值点,且|x1-x2|=

来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/11/11 11:00:51
(2009•东城区一模)设x1,x2是函数f(x)=
a
3
x
(2009•东城区一模)设x1,x2是函数f(x)=a3x3+b2x2−a2x(a>0)的两个极值点,且|x1-x2|=
(Ⅰ)对f(x)求导可得f'(x)=ax2+bx-a2(a>0).(2分)
因为x1,x2是f(x)的两个极值点,所以x1,x2是方程f'(x)=0的两个实根.
于是x1+x2=−
b
a,x1x2=−a,
故|x1−x2|2=(x1+x2)2−4x1x2=
b2
a2+4a=4,
即b2=4a2-4a3.(4分)
由b2≥0得4a2-4a3≥0,解得a≤1.a>0,
所以0<a≤1得证.(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知b2=4a2-4a3,设g(a)=4a2-4a3
则g'(a)=8a-12a2=4a(2-3a).(8分)
由g'(a)>0⇒0<a<
2
3;g'(a)<0⇒
2
3<a≤1.(10分)
故g(a)在a=
2
3时取得最大值
16
27,
即b2≤
16
27,
所以|b|≤
4
3
9.(13分)