大师作文网域GF(2^m)中一定有本原域元素,可是本原域元素的个数可不可以不止一个?
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/18 18:10:20
域GF(2^m)中一定有本原域元素,可是本原域元素的个数可不可以不止一个?
如图。本原域元素定义：若在GF(q)中，某一元素a的级为q-1，则a为本原域元素。首先a^2和a都是级为2^m-1的元素，那a是本原域元素，a^2也是咯？如图，a^2也可以生成这个域，是不是佐证了这点？而事实上，这里a，a^2,a^4,a^8,^a^16,a^32构成了一个共轭根系，其级都是相等的，假如本原域元素可以不止一个，那它们都是本原域元素吗？若是，那么是否还有其他的元素也是？是不是只要级=2^m-1的元素都是？最后，m=5或6时，其对应的本原多项式都是6个，并且本原多项式一定以本院元为根。那么请问，GF(2^m)中本原域元素的个数与m时本原多项式的个数之间的关系是什么？此题有点难度，需要精通多项式理论以及抽象代数的人回到。
如图。本原域元素定义：若在GF(q)中，某一元素a的级为q-1，则a为本原域元素。首先a^2和a都是级为2^m-1的元素，那a是本原域元素，a^2也是咯？如图，a^2也可以生成这个域，是不是佐证了这点？而事实上，这里a，a^2,a^4,a^8,^a^16,a^32构成了一个共轭根系，其级都是相等的，假如本原域元素可以不止一个，那它们都是本原域元素吗？若是，那么是否还有其他的元素也是？是不是只要级=2^m-1的元素都是？最后，m=5或6时，其对应的本原多项式都是6个，并且本原多项式一定以本院元为根。那么请问，GF(2^m)中本原域元素的个数与m时本原多项式的个数之间的关系是什么？此题有点难度，需要精通多项式理论以及抽象代数的人回到。
虽然学过抽代,但是对你这里的术语不太了解,先确认一下.
域中一个非零元素a的级,是指最小的正整数k,使a^k = 1.
有限域GF(q)中的本原元素,是指级为q-1的元素.
你这里的m次本原多项式,是指GF(p^m)中本原元素在GF(p)上的极小多项式?
任意一个有限域的乘法群都是一个循环群.
按你的定义,一个元素称为本原元素,是指该元素可以生成整个循环群.
在一个n阶循环群中,有φ(n)个元素可以作为生成元.
其中φ(n)是欧拉函数,表示1至n的整数中与n互质的个数.
以GF(64)为例,乘法群是一个63阶循环群.
设a是一个本原元素,乘法群中的元素可唯一表示为a^k,k = 1,2,...,62,63.
可知a^k是本原元素当且仅当k与63互质,共有φ(63) = 36个.
这些元素的级都为63,都是本原元素.
但是,一个元素能生成整个域并不说明其为本原元素,因为这里的生成还包括加法.
还是上面的例子,a^3的阶为21,不是本原元素,但是a^3不在GF(64)的真子域GF(4)或GF(8)中.
因此GF(64) = GF(2)(a^3),即a^3可以在GF(2)上生成GF(64).
由此可知,a^3在GF(2)上的极小多项式是GF(2)上的6次不可约多项式,但不是本原多项式.
要求本原多项式的个数可以这样.
GF(p^m)的乘法群是p^m-1阶循环群,因此有φ(p^m-1)个本原元素.
任意本原元素的极小多项式是m次不可约多项式,无重根且所有根都是本原元素.
两个不等价(相差非零常数倍)的本原多项式无公共根.
因此共有φ(p^m-1)/m个本原多项式.
域中一个非零元素a的级,是指最小的正整数k,使a^k = 1.
有限域GF(q)中的本原元素,是指级为q-1的元素.
你这里的m次本原多项式,是指GF(p^m)中本原元素在GF(p)上的极小多项式?
任意一个有限域的乘法群都是一个循环群.
按你的定义,一个元素称为本原元素,是指该元素可以生成整个循环群.
在一个n阶循环群中,有φ(n)个元素可以作为生成元.
其中φ(n)是欧拉函数,表示1至n的整数中与n互质的个数.
以GF(64)为例,乘法群是一个63阶循环群.
设a是一个本原元素,乘法群中的元素可唯一表示为a^k,k = 1,2,...,62,63.
可知a^k是本原元素当且仅当k与63互质,共有φ(63) = 36个.
这些元素的级都为63,都是本原元素.
但是,一个元素能生成整个域并不说明其为本原元素,因为这里的生成还包括加法.
还是上面的例子,a^3的阶为21,不是本原元素,但是a^3不在GF(64)的真子域GF(4)或GF(8)中.
因此GF(64) = GF(2)(a^3),即a^3可以在GF(2)上生成GF(64).
由此可知,a^3在GF(2)上的极小多项式是GF(2)上的6次不可约多项式,但不是本原多项式.
要求本原多项式的个数可以这样.
GF(p^m)的乘法群是p^m-1阶循环群,因此有φ(p^m-1)个本原元素.
任意本原元素的极小多项式是m次不可约多项式,无重根且所有根都是本原元素.
两个不等价(相差非零常数倍)的本原多项式无公共根.
因此共有φ(p^m-1)/m个本原多项式.