大师作文网关于三角形的一个不等式
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/11 14:48:28
关于三角形的一个不等式
三角形ABC内一点p,p点到三边的垂线分别为PD,PE,PF,则对于平面上任意一点M,PD*AB+PE*AC+PF*BC小于等于MD*AB+ME*AC+MF*BC,请问这是为什么?这是什么不等式吗?
三角形ABC内一点p,p点到三边的垂线分别为PD,PE,PF,则对于平面上任意一点M,PD*AB+PE*AC+PF*BC小于等于MD*AB+ME*AC+MF*BC,请问这是为什么?这是什么不等式吗?
按你的叙述理解,D在AB上,E在AC上,F在BC上,
则
S△ABP=AB*PD/2,S△ACP=AC*PE/2,S△BCP=BC*PF/2,
即
S△ABC=S△ABP+S△ACP+S△BCP=(AB*PD+AC*PE+BC*PF)/2,
下面展开讨论：
（1）M在三角形ABC内
（1-1）M与P重合,
则MD=PD,ME=PE,MF=PF,
MD*AB+ME*AC+MF*BC=PD*AB+PE*AC+PF*BC,等式成立
（1-2）M与P不重合,
做MD'垂直AB于点D',ME'垂直AC于点E',MF'垂直BC于点F',连接MA、MB、MC、MD、ME、MF
则MD≥MD',ME≥ME',MF≥MF',
MD*AB≥MD'*AB,ME*AC≥ME'*AC,MF*BC≥MF'*BC,
又
S△ABC=S△ABM+S△ACM+S△BCM
而
S△ABM=AB*MD'/2,S△ACM=AC*ME'/2,S△BCM=BC*MF'/2
因此
S△ABC=(AB*MD'+AC*ME'+BC*MF')/2=(AB*PD+AC*PE+BC*PF)/2
因此
AB*PD+AC*PE+BC*PF=AB*MD'+AC*ME'+BC*MF'≤AB*MD+AC*ME+BC*MF,不等式成立
（实际上此时应该是小于号,因为MD≥MD',ME≥ME',MF≥MF'这三组中,同一时刻只能有一个等号成立,其他都不是等号,不想再细分讨论了,一画图就能想明白了）
（2）M在三角形ABC其中一边上
假设M在AB边上,做ME'垂直AC于点E',MF'垂直BC于点F',连接MC、ME、MF
（证明方法、过程与上面（1-2）类似,也是通过三角形面积来证明不等式成立,不再赘述）
（3）M在三角形ABC外
做MD'垂直AB于点D',ME'垂直AC于点E',MF'垂直BC于点F',连接MA、MB、MC、MD、ME、MF
则
MD≥MD',ME≥ME',MF≥MF',
MD*AB≥MD'*AB,ME*AC≥ME'*AC,MF*BC≥MF'*BC,
S△ABM=AB*MD'/2,S△ACM=AC*ME'/2,S△BCM=BC*MF'/2
而S△ABM+S△ACM+S△BCM=S四边形ABCM,明显大于S△ABC,
即
(AB*MD'+AC*ME'+BC*MF')/2＞(AB*PD+AC*PE+BC*PF)/2
AB*MD'+AC*ME'+BC*MF'＞AB*PD+AC*PE+BC*PF
因此
AB*MD+AC*ME+BC*MF＞AB*PD+AC*PE+BC*PF
综上所述,对于平面上任意一点M,
PD*AB+PE*AC+PF*BC≤MD*AB+ME*AC+MF*BC,不等式恒成立.
则
S△ABP=AB*PD/2,S△ACP=AC*PE/2,S△BCP=BC*PF/2,
即
S△ABC=S△ABP+S△ACP+S△BCP=(AB*PD+AC*PE+BC*PF)/2,
下面展开讨论：
（1）M在三角形ABC内
（1-1）M与P重合,
则MD=PD,ME=PE,MF=PF,
MD*AB+ME*AC+MF*BC=PD*AB+PE*AC+PF*BC,等式成立
（1-2）M与P不重合,
做MD'垂直AB于点D',ME'垂直AC于点E',MF'垂直BC于点F',连接MA、MB、MC、MD、ME、MF
则MD≥MD',ME≥ME',MF≥MF',
MD*AB≥MD'*AB,ME*AC≥ME'*AC,MF*BC≥MF'*BC,
又
S△ABC=S△ABM+S△ACM+S△BCM
而
S△ABM=AB*MD'/2,S△ACM=AC*ME'/2,S△BCM=BC*MF'/2
因此
S△ABC=(AB*MD'+AC*ME'+BC*MF')/2=(AB*PD+AC*PE+BC*PF)/2
因此
AB*PD+AC*PE+BC*PF=AB*MD'+AC*ME'+BC*MF'≤AB*MD+AC*ME+BC*MF,不等式成立
（实际上此时应该是小于号,因为MD≥MD',ME≥ME',MF≥MF'这三组中,同一时刻只能有一个等号成立,其他都不是等号,不想再细分讨论了,一画图就能想明白了）
（2）M在三角形ABC其中一边上
假设M在AB边上,做ME'垂直AC于点E',MF'垂直BC于点F',连接MC、ME、MF
（证明方法、过程与上面（1-2）类似,也是通过三角形面积来证明不等式成立,不再赘述）
（3）M在三角形ABC外
做MD'垂直AB于点D',ME'垂直AC于点E',MF'垂直BC于点F',连接MA、MB、MC、MD、ME、MF
则
MD≥MD',ME≥ME',MF≥MF',
MD*AB≥MD'*AB,ME*AC≥ME'*AC,MF*BC≥MF'*BC,
S△ABM=AB*MD'/2,S△ACM=AC*ME'/2,S△BCM=BC*MF'/2
而S△ABM+S△ACM+S△BCM=S四边形ABCM,明显大于S△ABC,
即
(AB*MD'+AC*ME'+BC*MF')/2＞(AB*PD+AC*PE+BC*PF)/2
AB*MD'+AC*ME'+BC*MF'＞AB*PD+AC*PE+BC*PF
因此
AB*MD+AC*ME+BC*MF＞AB*PD+AC*PE+BC*PF
综上所述,对于平面上任意一点M,
PD*AB+PE*AC+PF*BC≤MD*AB+ME*AC+MF*BC,不等式恒成立.