大师作文网还有重点要记哪些?
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/13 08:00:41
还有重点要记哪些?
向量的定义
既有大小又有方向的量叫做向量（亦称矢量）.
在线性代数中的向量是指n个实数组成的有序数组,称为n维向量.α=（a1,a2,…,an） 称为n维向量.其中ai称为向量α的第i个分量.
（"a1"的"1"为a的下标,"ai"的"i"为a的下标,其他类推）.
向量的表示
1、代数表示：一般印刷用黑体小写字母α、β、γ … 或a、b、c … 等来表示,手写用在a、b、c…等字母上加一箭头表示.
2、几何表示：向量可以用有向线段来表示.有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向.（若规定线段AB的端点A为起点,B为终点,则线段就具有了从起点A到终点B的方向和长度.这种具有方向和长度的线段叫做有向线段.）
3、坐标表示：在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底.a为平面直角坐标系内的任意向量,以坐标原点O为起点作向量OP=a.由平面向量基本定理知,有且只有一对实数（x,y）,使得 a=向量OP=xi+yj,因此把实数对（x,y）叫做向量a的坐标,记作a=（x,y）.这就是向量a的坐标表示.其中（x,y）就是点P的坐标.向量OP称为点P的位置向量.
向量的模和向量的数量
向量的大小,也就是向量的长度(或称模).向量a的模记作|a|.
[向量的模、向量的数量]
向量的模、向量的数量
注：
1、向量的模是非负实数,是可以比较大小的.
2、因为方向不能比较大小,所以向量也就不能比较大小.对于向量来说“大于”和“小于”的概念是没有意义的.例如,“向量AB>向量CD”是没有意义的.
特殊的向量
单位向量
长度为单位1的向量,叫做单位向量．与向量a同向且长度为单位1的向量,叫做a方向上的单位向量,记作a0,a0=a/|a|.
零向量
长度为0的向量叫做零向量,记作0．零向量的始点和终点重合,所以零向量没有确定的方向,或说零向量的方向是任意的.
相等向量
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量a与b相等,记作a=b．
规定：所有的零向量都相等．
当用有向线段表示向量时,起点可以任意选取.任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关．同向且等长的有向线段都表示同一向量.
自由向量
始点不固定的向量,它可以任意的平行移动,而且移动后的向量仍然代表原来的向量.
在自由向量的意义下,相等的向量都看作是同一个向量.
数学中只研究自由向量.
滑动向量
沿着直线作用的向量称为滑动向量.
固定向量
作用于一点的向量称为固定向量（亦称胶着向量）.
位置向量
对于坐标平面内的任意一点P,我们把向量OP叫做点P的位置向量,记作：向量P.
相反向量
与a长度相等、方向相反的向量叫做a的相反向量,记作-a.有 -（-a）=a；
零向量的相反向量仍是零向量.
平行向量
方向相同或相反的非零向量叫做平行（或共线）向量．向量a、b平行（共线）,记作a‖b．
零向量长度为零,是起点与终点重合的向量,其方向不确定,我们规定：零向量与任一向量平行．
平行于同一直线的一组向量是共线向量.
共线向量
平行于同一平面的一组向量叫做共面向量.
空间中的向量有且只有一下两种位置关系：⑴共线；⑵不共线.只有三个或三个以上向量才谈共面不公面.
向量的运算
设a=（x,y）,b=(x',y').
1、向量的加法
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则.
AB+BC=AC.
a+b=(x+x',y+y').
a+0=0+a=a.
向量加法的运算率：
交换律：a+b=b+a；
结合律：(a+b)+c=a+(b+c).
2、向量的减法
如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.
AB-AC=CB.
a-b=(x-x',y-y').
4、数乘向量
实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣.
当λ＞0时,λa与a同方向；
当λ＜0时,λa与a反方向；
当λ=0时,λa=0,方向任意.
实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.
当∣λ∣＞1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；
当∣λ∣＜1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍.
数与向量的乘法满足下面的运算律
结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb).
向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.
数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+μb.
数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ.
3、向量的的数量积
定义：两个非零向量的夹角记为〈a,b〉,且〈a,b〉∈[0,π].
定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量,记作a·b.若a、b不共线,则a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉；若a、b共线,则a·b=0.
向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'.
向量的数量积的运算率
a·b=b·a（交换率）；
a+b)·c=a·c+b·c（分配率）；
向量的数量积的性质
a·a=|a|的平方.
a⊥b 〈=〉a·b=0.
|a·b|≤|a|·|b|.
向量的数量积与实数运算的主要不同点
1、向量的数量积不满足结合律,即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)^2≠a^2·b^2.
2、向量的数量积不满足消去律,即：由 a·b=a·c (a≠0),推不出 b=c.
3、|a·b|≠|a|·|b|
4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b.
4、向量的向量积
定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量,记作a×b.若a、b不共线,则a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a,b〉；a×b的方向是：垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线,则a×b=0.
向量的向量积性质：
∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积.
a×a=0.
a‖b〈=〉a×b=0.
向量的向量积运算律
a×b=-b×a；
（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；
（a+b）×c=a×c+b×c.
注：向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的.
向量的三角形不等式
1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣；
① 当且仅当a、b反向时,左边取等号；
② 当且仅当a、b同向时,右边取等号.
2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣.
① 当且仅当a、b同向时,左边取等号；
② 当且仅当a、b反向时,右边取等号.
定比分点
定比分点公式1 （向量P1P=λ·向量PP2）
设P1、P2是直线上的两点,P是l上不同于P1、P2的任意一点.则存在一个实数 λ,使 向量P1P=λ·向量PP2,λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比.
若P1（x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),则有
OP=(OP1+λOP2)(1+λ)；（定比分点向量公式）
x=(x1+λx2)/(1+λ),
y=(y1+λy2)/(1+λ).（定比分点坐标公式）
我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式.
定比分点公式2 （向量P1P=λ·向量P1P2）
OP=(1-λ)OP1+λOP2.
向量共线的充要条件
若b≠0,则a//b的充要条件是存在唯一实数λ,使a=λb.
a//b的充要条件是 xy'-x'y=0.
a//b的充要条件是 a×b=0.
零向量0平行于任何向量.
向量垂直的充要条件
a⊥b的充要条件是 a·b=0.
a⊥b的充要条件是 xx'+yy'=0.
零向量0垂直于任何向量.
既有大小又有方向的量叫做向量（亦称矢量）.
在线性代数中的向量是指n个实数组成的有序数组,称为n维向量.α=（a1,a2,…,an） 称为n维向量.其中ai称为向量α的第i个分量.
（"a1"的"1"为a的下标,"ai"的"i"为a的下标,其他类推）.
向量的表示
1、代数表示：一般印刷用黑体小写字母α、β、γ … 或a、b、c … 等来表示,手写用在a、b、c…等字母上加一箭头表示.
2、几何表示：向量可以用有向线段来表示.有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向.（若规定线段AB的端点A为起点,B为终点,则线段就具有了从起点A到终点B的方向和长度.这种具有方向和长度的线段叫做有向线段.）
3、坐标表示：在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底.a为平面直角坐标系内的任意向量,以坐标原点O为起点作向量OP=a.由平面向量基本定理知,有且只有一对实数（x,y）,使得 a=向量OP=xi+yj,因此把实数对（x,y）叫做向量a的坐标,记作a=（x,y）.这就是向量a的坐标表示.其中（x,y）就是点P的坐标.向量OP称为点P的位置向量.
向量的模和向量的数量
向量的大小,也就是向量的长度(或称模).向量a的模记作|a|.
[向量的模、向量的数量]
向量的模、向量的数量
注：
1、向量的模是非负实数,是可以比较大小的.
2、因为方向不能比较大小,所以向量也就不能比较大小.对于向量来说“大于”和“小于”的概念是没有意义的.例如,“向量AB>向量CD”是没有意义的.
特殊的向量
单位向量
长度为单位1的向量,叫做单位向量．与向量a同向且长度为单位1的向量,叫做a方向上的单位向量,记作a0,a0=a/|a|.
零向量
长度为0的向量叫做零向量,记作0．零向量的始点和终点重合,所以零向量没有确定的方向,或说零向量的方向是任意的.
相等向量
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量a与b相等,记作a=b．
规定：所有的零向量都相等．
当用有向线段表示向量时,起点可以任意选取.任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关．同向且等长的有向线段都表示同一向量.
自由向量
始点不固定的向量,它可以任意的平行移动,而且移动后的向量仍然代表原来的向量.
在自由向量的意义下,相等的向量都看作是同一个向量.
数学中只研究自由向量.
滑动向量
沿着直线作用的向量称为滑动向量.
固定向量
作用于一点的向量称为固定向量（亦称胶着向量）.
位置向量
对于坐标平面内的任意一点P,我们把向量OP叫做点P的位置向量,记作：向量P.
相反向量
与a长度相等、方向相反的向量叫做a的相反向量,记作-a.有 -（-a）=a；
零向量的相反向量仍是零向量.
平行向量
方向相同或相反的非零向量叫做平行（或共线）向量．向量a、b平行（共线）,记作a‖b．
零向量长度为零,是起点与终点重合的向量,其方向不确定,我们规定：零向量与任一向量平行．
平行于同一直线的一组向量是共线向量.
共线向量
平行于同一平面的一组向量叫做共面向量.
空间中的向量有且只有一下两种位置关系：⑴共线；⑵不共线.只有三个或三个以上向量才谈共面不公面.
向量的运算
设a=（x,y）,b=(x',y').
1、向量的加法
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则.
AB+BC=AC.
a+b=(x+x',y+y').
a+0=0+a=a.
向量加法的运算率：
交换律：a+b=b+a；
结合律：(a+b)+c=a+(b+c).
2、向量的减法
如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.
AB-AC=CB.
a-b=(x-x',y-y').
4、数乘向量
实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣.
当λ＞0时,λa与a同方向；
当λ＜0时,λa与a反方向；
当λ=0时,λa=0,方向任意.
实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.
当∣λ∣＞1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；
当∣λ∣＜1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍.
数与向量的乘法满足下面的运算律
结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb).
向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.
数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+μb.
数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ.
3、向量的的数量积
定义：两个非零向量的夹角记为〈a,b〉,且〈a,b〉∈[0,π].
定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量,记作a·b.若a、b不共线,则a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉；若a、b共线,则a·b=0.
向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'.
向量的数量积的运算率
a·b=b·a（交换率）；
a+b)·c=a·c+b·c（分配率）；
向量的数量积的性质
a·a=|a|的平方.
a⊥b 〈=〉a·b=0.
|a·b|≤|a|·|b|.
向量的数量积与实数运算的主要不同点
1、向量的数量积不满足结合律,即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)^2≠a^2·b^2.
2、向量的数量积不满足消去律,即：由 a·b=a·c (a≠0),推不出 b=c.
3、|a·b|≠|a|·|b|
4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b.
4、向量的向量积
定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量,记作a×b.若a、b不共线,则a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a,b〉；a×b的方向是：垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线,则a×b=0.
向量的向量积性质：
∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积.
a×a=0.
a‖b〈=〉a×b=0.
向量的向量积运算律
a×b=-b×a；
（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；
（a+b）×c=a×c+b×c.
注：向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的.
向量的三角形不等式
1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣；
① 当且仅当a、b反向时,左边取等号；
② 当且仅当a、b同向时,右边取等号.
2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣.
① 当且仅当a、b同向时,左边取等号；
② 当且仅当a、b反向时,右边取等号.
定比分点
定比分点公式1 （向量P1P=λ·向量PP2）
设P1、P2是直线上的两点,P是l上不同于P1、P2的任意一点.则存在一个实数 λ,使 向量P1P=λ·向量PP2,λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比.
若P1（x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),则有
OP=(OP1+λOP2)(1+λ)；（定比分点向量公式）
x=(x1+λx2)/(1+λ),
y=(y1+λy2)/(1+λ).（定比分点坐标公式）
我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式.
定比分点公式2 （向量P1P=λ·向量P1P2）
OP=(1-λ)OP1+λOP2.
向量共线的充要条件
若b≠0,则a//b的充要条件是存在唯一实数λ,使a=λb.
a//b的充要条件是 xy'-x'y=0.
a//b的充要条件是 a×b=0.
零向量0平行于任何向量.
向量垂直的充要条件
a⊥b的充要条件是 a·b=0.
a⊥b的充要条件是 xx'+yy'=0.
零向量0垂直于任何向量.