如何证明以3为底7的对数是无理数?

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/09/25 05:25:57

如何证明以3为底7的对数是无理数?

设x = log3 7
则 3^x =7
假设x 是有理数,x= p/q,p,q为互质的整数
3^(p/q) =7
3^p = 7^q
令z = 3^p,则z只含质因数3
若3^p = 7^q,那么z又含有质因数7,所以矛盾.
因此x = log3 7 是无理数.
再问：为什么含有3，7为因数就矛盾了呢？
再答：令z = 3^p, 则z [只] 含质因数3, 没有别的了
再问：为什么就不能还有7呢？
再答：只有的意思就是，仅有，没有别的因为7是质数， 3^p不含7的因式, 不能被7整除。所以z=3^p, 不能被7整除。而z=7^q 又能被7整除。所以矛盾。
再问： 3^P为什么是不含有7的因式呢？
再答：因为3^p = 3*3*...*3 (共P个), 其中只有3, 1个7也没有.

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