已知定义在R上的函数f(x)=12(sinωx+acosωx)(a∈R,0<ω≤1)满足:f(x)=f(π3-x),f(
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/09/23 15:30:48
已知定义在R上的函数f(x)=
1 |
2 |
(I)∵f(x)=
1
2(sinωx+acosωx)=
a2+1
2sin(ωx+ϕ),其中sinϕ=
a
a2+1,cosϕ=
1
a2+1,
由f(x-π)=f(x+π)知f(x)=f(x+2π),即函数f(x)的周期为2π.
∴
2π
|ω|≤2π,即|ω|≥1.又0<ω≤1,∴ω=1.
又∵f(x)=f(
π
3-x),∴f(0)=f(
π
3),
即
1
2(sin0+acos0)=
1
2(sin
π
3+acos
π
3),解得 a=
3,∴f(x)=sin(x+
π
3).
(II)显然,x∈(-
5π
6,
π
6)等价于x+
π
3∈(-
π
2,
π
2).
令u=x+
π
3,f(x)=t,g(t)=t2+mt+n,则f(x)=sinu,
由|m|+|n|<1得|m+n|≤|m|+|n|<1,∴m+n>-1.
同理由|m-n|≤|m|+|n|<1得m-n<1.
∴g(1)=m+n+1>0,g(-1)=1-m+n>0.
又∵|m|≤|m|+|n|<1,∴-
m
2∈(-1,1).
又∵△=m2-4n>0,∴一元二次方程t2+mt+n=0在区间(-1,1)内有两个不等的实根.
∵函数y=sinu(u∈(-
π
2,
π
2))与u=x+
π
3(x∈(-
5π
6,
π
6))都是增函数,
∴[f(x)]2+mf(x)+n=0在区间(-
5π
6,
π
6)内有两个不等实根.
∴“|m|+|n|<1”是“方程[f(x)]2+mf(x)+n=0在区间(-
5π
6,
π
6)内有两个不等实根”的充分条件.
令m=
5
6,n=
1
6,由于方程t2+
5
6t+
1
6=0有两个不等的实根-
1
3,-
1
2,且-
1
3,-
1
2∈(-1,1),
∴方程sin2(x+
π
3)+
5
6sin(x+
π
3)+
1
6=0在(-
5π
6,
π
6)内有两个不等的实根,
但|m|+|n|=
5
6+
1
6=1,
故“|m|+|n|<1”不是“方程[f(x)]2+mf(x)+n=0在区间(-
5π
6,
π
6)内有两个不等实根”的必要条件.
综上,“|m|+|n|<1”是“方程[f(x)]2+mf(x)+n=0在区间(-
5π
6,
π
6)内有两个不等实根”的充分不必要条件.
1
2(sinωx+acosωx)=
a2+1
2sin(ωx+ϕ),其中sinϕ=
a
a2+1,cosϕ=
1
a2+1,
由f(x-π)=f(x+π)知f(x)=f(x+2π),即函数f(x)的周期为2π.
∴
2π
|ω|≤2π,即|ω|≥1.又0<ω≤1,∴ω=1.
又∵f(x)=f(
π
3-x),∴f(0)=f(
π
3),
即
1
2(sin0+acos0)=
1
2(sin
π
3+acos
π
3),解得 a=
3,∴f(x)=sin(x+
π
3).
(II)显然,x∈(-
5π
6,
π
6)等价于x+
π
3∈(-
π
2,
π
2).
令u=x+
π
3,f(x)=t,g(t)=t2+mt+n,则f(x)=sinu,
由|m|+|n|<1得|m+n|≤|m|+|n|<1,∴m+n>-1.
同理由|m-n|≤|m|+|n|<1得m-n<1.
∴g(1)=m+n+1>0,g(-1)=1-m+n>0.
又∵|m|≤|m|+|n|<1,∴-
m
2∈(-1,1).
又∵△=m2-4n>0,∴一元二次方程t2+mt+n=0在区间(-1,1)内有两个不等的实根.
∵函数y=sinu(u∈(-
π
2,
π
2))与u=x+
π
3(x∈(-
5π
6,
π
6))都是增函数,
∴[f(x)]2+mf(x)+n=0在区间(-
5π
6,
π
6)内有两个不等实根.
∴“|m|+|n|<1”是“方程[f(x)]2+mf(x)+n=0在区间(-
5π
6,
π
6)内有两个不等实根”的充分条件.
令m=
5
6,n=
1
6,由于方程t2+
5
6t+
1
6=0有两个不等的实根-
1
3,-
1
2,且-
1
3,-
1
2∈(-1,1),
∴方程sin2(x+
π
3)+
5
6sin(x+
π
3)+
1
6=0在(-
5π
6,
π
6)内有两个不等的实根,
但|m|+|n|=
5
6+
1
6=1,
故“|m|+|n|<1”不是“方程[f(x)]2+mf(x)+n=0在区间(-
5π
6,
π
6)内有两个不等实根”的必要条件.
综上,“|m|+|n|<1”是“方程[f(x)]2+mf(x)+n=0在区间(-
5π
6,
π
6)内有两个不等实根”的充分不必要条件.
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