已知数列a,b,c为各项都是正数的等差数列,公差为d(d>0),在a,b之间和b,c之间共插入m个实数后,所得到的m+3
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/25 04:26:25
已知数列a,b,c为各项都是正数的等差数列,公差为d(d>0),在a,b之间和b,c之间共插入m个实数后,所得到的m+3个数所组成的数列{an}是等比数列,其公比为q.
(1)若a=1,m=1,求公差d;
(2)若在a,b之间和b,c之间所插入数的个数均为奇数,求所插入的m个数的乘积(用a,c,m表示),求证:q是无理数.
(1)若a=1,m=1,求公差d;
(2)若在a,b之间和b,c之间所插入数的个数均为奇数,求所插入的m个数的乘积(用a,c,m表示),求证:q是无理数.
(1)由a=1,且等差数列a,b,c的公差为d,可知 b=1+d,c=1=2d,
若插入的一个数在 a,b之间,则 1+d=q2,1+2d=q3,
消去q可得 (1+2d)2=(1+d)3,其正根为 d=
1+
5
2.
若插入的一个数在b,c之间,则 1+d=q,1+2d=q3,
消去q可得 1+2d=(1+d)3,此方程无正根.故所求公差 d=
1+
5
2.…(4分)
(2)设在 a,b之间插入l个数,在 b,c之间插入t个数,则l+t=m,在等比数列{an} 中,
∵a1=a,al+2=b=
a+c
2,am+3=c,ak•am+4-k=a1•am+3…,
∴(a2•a3…am+2)2=(a2•am+2 )•( a3•am+1)…(am+1•a3 )(am+2•a2)=(ac)m+1,
又∵ql+1=
b
a>0,qt+1=
c
b>0,l,t 都为奇数,∴q 可以为正数,也可以为负数.
①若q为正数,则 a2•a3…am+2=(ac)
m+1
2,所插入 m 个数的积为
a2 •a3…am+2
b=
2
a+c•(ac)
m+1
2;
②若q 为负数,a2,a3,…,am+2 中共有
m
2+ 1 个负数,
当
m
2 是奇数,即 m=4k-2,k∈N+ 时,所插入m个数的积为
a2•a3…am+2
b=
2
a+c (ac)
m+1
2;
当
m
2是偶数,即m=4k,k∈N+时,所插入m个数的积为
若插入的一个数在 a,b之间,则 1+d=q2,1+2d=q3,
消去q可得 (1+2d)2=(1+d)3,其正根为 d=
1+
5
2.
若插入的一个数在b,c之间,则 1+d=q,1+2d=q3,
消去q可得 1+2d=(1+d)3,此方程无正根.故所求公差 d=
1+
5
2.…(4分)
(2)设在 a,b之间插入l个数,在 b,c之间插入t个数,则l+t=m,在等比数列{an} 中,
∵a1=a,al+2=b=
a+c
2,am+3=c,ak•am+4-k=a1•am+3…,
∴(a2•a3…am+2)2=(a2•am+2 )•( a3•am+1)…(am+1•a3 )(am+2•a2)=(ac)m+1,
又∵ql+1=
b
a>0,qt+1=
c
b>0,l,t 都为奇数,∴q 可以为正数,也可以为负数.
①若q为正数,则 a2•a3…am+2=(ac)
m+1
2,所插入 m 个数的积为
a2 •a3…am+2
b=
2
a+c•(ac)
m+1
2;
②若q 为负数,a2,a3,…,am+2 中共有
m
2+ 1 个负数,
当
m
2 是奇数,即 m=4k-2,k∈N+ 时,所插入m个数的积为
a2•a3…am+2
b=
2
a+c (ac)
m+1
2;
当
m
2是偶数,即m=4k,k∈N+时,所插入m个数的积为
abc为各项是正数的等差数列,公差为d(d>0),在a,b之间和b,c之间共插入m个数后,所得到的m+3个数所组成数列﹛
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