(2004•呼和浩特)阅读下列材料:
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/09/22 19:37:34
(2004•呼和浩特)阅读下列材料:
如图1,⊙O1和⊙O2外切于点C,AB是⊙O1和⊙O2外公切线,A、B为切点,
求证:AC⊥BC
证明:过点C作⊙O1和⊙O2的内公切线交AB于D,
∵DA、DC是⊙O1的切线
∴DA=DC.
∴∠DAC=∠DCA.
同理∠DCB=∠DBC.
又∵∠DAC+∠DCA+∠DCB+∠DBC=180°,
∴∠DCA+∠DCB=90°.
即AC⊥BC.
根据上述材料,解答下列问题:
(1)在以上的证明过程中使用了哪些定理?请写出两个定理的名称或内容;
(2)以AB所在直线为x轴,过点C且垂直于AB的直线为y轴建立直角坐标系(如图2),已知A、B两点的坐标为(-4,0),(1,0),求经过A、B、C三点的抛物线y=ax2+bx+c的函数解析式;
(3)根据(2)中所确定的抛物线,试判断这条抛物线的顶点是否落在两圆的连心O1O2上,并说明理由.
如图1,⊙O1和⊙O2外切于点C,AB是⊙O1和⊙O2外公切线,A、B为切点,
求证:AC⊥BC
证明:过点C作⊙O1和⊙O2的内公切线交AB于D,
∵DA、DC是⊙O1的切线
∴DA=DC.
∴∠DAC=∠DCA.
同理∠DCB=∠DBC.
又∵∠DAC+∠DCA+∠DCB+∠DBC=180°,
∴∠DCA+∠DCB=90°.
即AC⊥BC.
根据上述材料,解答下列问题:
(1)在以上的证明过程中使用了哪些定理?请写出两个定理的名称或内容;
(2)以AB所在直线为x轴,过点C且垂直于AB的直线为y轴建立直角坐标系(如图2),已知A、B两点的坐标为(-4,0),(1,0),求经过A、B、C三点的抛物线y=ax2+bx+c的函数解析式;
(3)根据(2)中所确定的抛物线,试判断这条抛物线的顶点是否落在两圆的连心O1O2上,并说明理由.
(1)DA、DC是⊙O1的切线,
∴DA=DC.应用的是切线长定理;
∠DAC+∠DCA+∠DCB+∠DBC=180°,应用的是三角形内角和定理.
(2)设C点坐标为(0,y),则AB2=AC2+BC2,
即(|-4-1|)2=(-4)2+y2+12+y2,
即25=17+2y2,解得y=2(舍去)或y=-2.
故C点坐标为(0,-2),
设经过A、B、C三点的抛物线的函数解析式为y=ax2+bx+c,
则
16a−4b+c=0
a+b+c=0
c=−2,
解得
a=
1
2
b=
3
2
c=−2,
故所求二次函数的解析式为y=
1
2x2+
3
2x-2.
(3)过C作两圆的公切线CD交AB于D,则AD=BD=CD,由A(-4,0),B(1,0)可知D(-
3
2,0),
设过CD两点的直线为y=kx+b,则
−
3
2k+b=0
b=−2,
解得
k=−
4
3
b=−2,
故此一次函数的解析式为y=-
4
3x-2,
∵过O1,O2的直线必过C点且与直线y=-
4
3x-2垂直,
故过O1,O2的直线的解析式为y=-
3
4x-2.
由(2)中所求抛物线的解析式可知抛物线的顶点坐标为(
3
2,-
25
8),
代入直线解析式得-
3
4×
3
2-2=-
25
8,故这条抛物线的顶点落在两圆的连心O1O2上.
∴DA=DC.应用的是切线长定理;
∠DAC+∠DCA+∠DCB+∠DBC=180°,应用的是三角形内角和定理.
(2)设C点坐标为(0,y),则AB2=AC2+BC2,
即(|-4-1|)2=(-4)2+y2+12+y2,
即25=17+2y2,解得y=2(舍去)或y=-2.
故C点坐标为(0,-2),
设经过A、B、C三点的抛物线的函数解析式为y=ax2+bx+c,
则
16a−4b+c=0
a+b+c=0
c=−2,
解得
a=
1
2
b=
3
2
c=−2,
故所求二次函数的解析式为y=
1
2x2+
3
2x-2.
(3)过C作两圆的公切线CD交AB于D,则AD=BD=CD,由A(-4,0),B(1,0)可知D(-
3
2,0),
设过CD两点的直线为y=kx+b,则
−
3
2k+b=0
b=−2,
解得
k=−
4
3
b=−2,
故此一次函数的解析式为y=-
4
3x-2,
∵过O1,O2的直线必过C点且与直线y=-
4
3x-2垂直,
故过O1,O2的直线的解析式为y=-
3
4x-2.
由(2)中所求抛物线的解析式可知抛物线的顶点坐标为(
3
2,-
25
8),
代入直线解析式得-
3
4×
3
2-2=-
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8,故这条抛物线的顶点落在两圆的连心O1O2上.
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