(2014•张掖模拟)给出下列四个命题:
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/10/01 19:23:33
(2014•张掖模拟)给出下列四个命题:
①命题“∀x∈R,cosx>0”的否定是“∃x∈R,cosx≤0”;
②若0<a<1,则函数f(x)=x2+ax-3只有一个零点;
③函数y=sin(2x−
)
①命题“∀x∈R,cosx>0”的否定是“∃x∈R,cosx≤0”;
②若0<a<1,则函数f(x)=x2+ax-3只有一个零点;
③函数y=sin(2x−
π |
3 |
根据含有量词的命题否定法则,可得命题“∀x∈R,cosx>0”的否定是“∃x∈R,cosx≤0”,故①正确;
若0<a<1,取a=
1
2,则f(x)=x2+(
1
2)x-3满足:f(0)=-1<0且f(
3)=(
1
2)
3>0
所以f(0)•f(
3)<0在区间(0,
3)有一个零点,又有f(-1)=0,故函数f(x)有不止一个零点,故②不正确;
对于③,因为y=sin(2x−
π
3)的单调增区间为[−
π
12+kπ,
5π
12+kπ],(k∈Z)
所以取k=0,得函数的一个单调增区间是[−
π
12,
5π
12],故③正确;
对于④,任意实数x有f(-x)=f(x),得函数f(x)是偶函数,可得导数f'(x)是奇函数
所以根据奇函数的性质,可得:“当x>0时,f′(x)>0”成立时,
必定有“当x<0时,f′(x)<0”成立,故④正确.
故答案为①③④
若0<a<1,取a=
1
2,则f(x)=x2+(
1
2)x-3满足:f(0)=-1<0且f(
3)=(
1
2)
3>0
所以f(0)•f(
3)<0在区间(0,
3)有一个零点,又有f(-1)=0,故函数f(x)有不止一个零点,故②不正确;
对于③,因为y=sin(2x−
π
3)的单调增区间为[−
π
12+kπ,
5π
12+kπ],(k∈Z)
所以取k=0,得函数的一个单调增区间是[−
π
12,
5π
12],故③正确;
对于④,任意实数x有f(-x)=f(x),得函数f(x)是偶函数,可得导数f'(x)是奇函数
所以根据奇函数的性质,可得:“当x>0时,f′(x)>0”成立时,
必定有“当x<0时,f′(x)<0”成立,故④正确.
故答案为①③④
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