大师作文网一道关于抛物线的数学题
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/17 00:18:55
一道关于抛物线的数学题
已知L为抛物线y^2=2px（p>0）的准线,AB为过焦点F的弦,M为AB的中点,过M作直线L的垂线,垂足是N,MN交抛物线于点P,求证：点P必平分线段MN.
已知L为抛物线y^2=2px（p>0）的准线,AB为过焦点F的弦,M为AB的中点,过M作直线L的垂线,垂足是N,MN交抛物线于点P,求证：点P必平分线段MN.
p>0,L为抛物线y^2=2px（p>0）的准线
L:x=-p,焦点F(p,0)
AB为过焦点F的弦,交抛物线y^2=2px于A、B两点,则
直线AB:y=k(x-p),x=(y+pk)/k
M为AB的中点
y^2=2px=2p(y+pk)/k
y^2-2py/k-2p^2=0
yM=yP=(yA+yB)/2=p/k
xM=(yM+pk)/k=(p/k+pk)/k=(p+pk^2)/k^2
过M作直线L的垂线,垂足是N,MN交抛物线于点P
yP=(yA+yB)/2=p/k
y^2=2px
xP=(yP)^2/(2p)=(p/k)^2/(2p)=p/(2k^2)
xM+xN=(p+pk^2)/k^2-p=p/k^2
xM+xN=2xP
∴点P必平分线段MN
L:x=-p,焦点F(p,0)
AB为过焦点F的弦,交抛物线y^2=2px于A、B两点,则
直线AB:y=k(x-p),x=(y+pk)/k
M为AB的中点
y^2=2px=2p(y+pk)/k
y^2-2py/k-2p^2=0
yM=yP=(yA+yB)/2=p/k
xM=(yM+pk)/k=(p/k+pk)/k=(p+pk^2)/k^2
过M作直线L的垂线,垂足是N,MN交抛物线于点P
yP=(yA+yB)/2=p/k
y^2=2px
xP=(yP)^2/(2p)=(p/k)^2/(2p)=p/(2k^2)
xM+xN=(p+pk^2)/k^2-p=p/k^2
xM+xN=2xP
∴点P必平分线段MN