已知椭圆y^2/a^2+x^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为√2/2,且过点(1,√2),斜率为k(k≠0)的直线

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/13 12:37:49

已知椭圆y^2/a^2+x^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为√2/2,且过点(1,√2),斜率为k(k≠0)的直线l过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P,Q两点,线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M(0,m).
(1)求椭圆的方程;
（2）求m的取值范围.

(1)
将(1,√2)代入椭圆方程得,2/a^2+1/b^2=1……(1)
e=c/a=√((a^2-b^2)/a^2)=√2/2
推出a^2=2*b^2
再将上式代入(1),解得b=√2
从而a=2
椭圆方程即为y^2/4+x^2/2=1
(2)
c=√(a^2-b^2)=√2
直线I:y=k*x+√2
代入椭圆方程,整理得(k^2+2)x^2+2(√2)kx-2=0
记P、Q坐标为(x1,y1)(x2,y2),PQ中点坐标为(x0,y0)则
x1+x2=-√2k/(k^2+2)
x0=(x1+x2)/2=-√2k/(2*k^2+4)
将直线方程x=(y-√2)/k代入椭圆方程类似可得：
y0=√2/(k^2+2)
PQ斜率为k
所以PQ中垂线斜率为-1/k,又它过点(x0,y0)
推出PQ中垂线的方程为：y-y0=(-1/k)*(x-x0)与Y轴交于y0+x0/k
即m=(√2)/(2*k^2+4),而k^2>0（因为k不等于0）,所以0