(2010•韶关模拟)椭圆G:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点为F1(-c,0),F2(c,0),M是椭圆
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/10/03 21:25:28
(2010•韶关模拟)椭圆G:
+
=1(a>b>0)的两个焦点为F1(-c,0),F2(c,0),M是椭圆上的一点,且满足
•
=0.
(1)求离心率的取值范围;
(2)当离心率e取得最小值时,点N(0,3)到椭圆上的点的最远距离为5
;
①求此时椭圆G的方程;
②设斜率为k(k≠0)的直线L与椭圆G相交于不同的两点A、B,Q为AB的中点,问A、B两点能否关于过点P(0,−
)、Q的直线对称?若能,求出k的取值范围;若不能,请说明理由.
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
F1M |
F2M |
(1)求离心率的取值范围;
(2)当离心率e取得最小值时,点N(0,3)到椭圆上的点的最远距离为5
2 |
①求此时椭圆G的方程;
②设斜率为k(k≠0)的直线L与椭圆G相交于不同的两点A、B,Q为AB的中点,问A、B两点能否关于过点P(0,−
| ||
3 |
(1)设M(x,y),则
F1M=(x+c,y),
F2M=(x−c,y)
由
F1M•
F2M=0⇒x2+y2=c2⇒y2=c2−x2(1分)
又M在椭圆上,∴y2=b2−
b2
a2x2(2分)
∴c2−x2=b2−
b2
a2x2⇒x2=a2−
a2b2
c2,(3分)
又0≤x2≤a2∴0<2−
1
e2≤1⇒
2
2≤e≤1,(4分)
∵0<e<1,∴
2
2≤e<1(5分)
(2)①当e=
2
2时得椭圆为
x2
2b2+
y2
b2=1
设H(x,y)是椭圆上一点,
则|HN|2=x2+(y-3)2=(2b2-2y2)+(y-3)2=-(y+3)2+2b2+18,(-b≤y≤b)
(6分)
设0<b<3,则-3<-b<0,当y=-b时,|HN|max2=b2+6b+9,,由题意得b2+6b+9=50
∴b=−3±5
2,与0<b<3矛盾,(7分)
设b≥3得-b≤-3,当y=-3时,|HN|max2=2b2+18,,由2b2+18=50得b2=16,(合题薏)
∴椭圆方程是:
x2
32+
y2
16=1(8分)
②.设l:y=kx+m由
x2
32+
y2
16=1
y=kx+m⇒(1+2k2)x2+4kmx+2m2−32=0
而△>0⇒m2<32k2+16(9分)
又A、B两点关于过点P(0,−
3
3)、Q的直线对称
∴kPQ=−
1
k,设A(x1,y1),B(x2,y2),则xQ=−
2km
1+2k2,yQ=
m
1+2k2(10分)
∴
yQ+
3
3
xQ=−
1
k⇒m=
1+2k2
3(11分)
∴(
1+2k2
3
F1M=(x+c,y),
F2M=(x−c,y)
由
F1M•
F2M=0⇒x2+y2=c2⇒y2=c2−x2(1分)
又M在椭圆上,∴y2=b2−
b2
a2x2(2分)
∴c2−x2=b2−
b2
a2x2⇒x2=a2−
a2b2
c2,(3分)
又0≤x2≤a2∴0<2−
1
e2≤1⇒
2
2≤e≤1,(4分)
∵0<e<1,∴
2
2≤e<1(5分)
(2)①当e=
2
2时得椭圆为
x2
2b2+
y2
b2=1
设H(x,y)是椭圆上一点,
则|HN|2=x2+(y-3)2=(2b2-2y2)+(y-3)2=-(y+3)2+2b2+18,(-b≤y≤b)
(6分)
设0<b<3,则-3<-b<0,当y=-b时,|HN|max2=b2+6b+9,,由题意得b2+6b+9=50
∴b=−3±5
2,与0<b<3矛盾,(7分)
设b≥3得-b≤-3,当y=-3时,|HN|max2=2b2+18,,由2b2+18=50得b2=16,(合题薏)
∴椭圆方程是:
x2
32+
y2
16=1(8分)
②.设l:y=kx+m由
x2
32+
y2
16=1
y=kx+m⇒(1+2k2)x2+4kmx+2m2−32=0
而△>0⇒m2<32k2+16(9分)
又A、B两点关于过点P(0,−
3
3)、Q的直线对称
∴kPQ=−
1
k,设A(x1,y1),B(x2,y2),则xQ=−
2km
1+2k2,yQ=
m
1+2k2(10分)
∴
yQ+
3
3
xQ=−
1
k⇒m=
1+2k2
3(11分)
∴(
1+2k2
3
设F1(-c,0)、F2(c,0)是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点,P是以F1F2为直径的圆与椭圆的
已知F1、F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,椭圆C上的点A(1,32)到F1、F2两点
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 (a>b>0)的两个焦点分别为F1、F2,点M在椭圆C上,若存
已知点P是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0,xy≠0)上的动点,F1(-c,0)、F2(c,0)为椭圆的左、右焦点
已知F1,F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线交椭圆C于A、B两
设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点为A,椭圆C上两点P,Q在X轴上的射影分别为左焦点F1和右焦点F2
如图,已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆C上,线段PF2与圆x2+y2
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点为F1,F2,过F2线与圆x2+y2=b2相切于点A,并与椭圆
已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),若椭圆上存在点P使asi
(2013•临沂二模)x2a2+y2b2=1(a>b>0)如图,已知椭圆C:的左、右焦点分别为F1、F2,离心率为32,
(2004•安徽)已知F1、F2为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点;M为椭圆上一点,MF1垂直于x轴,且∠
设F1,F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆C上,线段PF1的中点在y轴上,若