设n≠1,证明(n-1)²|(n^k-1)的充要条件是(n-1)|k .
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/25 15:18:44
设n≠1,证明(n-1)²|(n^k-1)的充要条件是(n-1)|k .
(n^k-1)这是n的k次方减1
(n^k-1)这是n的k次方减1
设n≠1,证明(n-1)²|(n^k-1)的充要条件是(n-1)|k .
证明:
n^k=[(n-1)+1]^k=(n-1)^k+C(k,1)*(n-1)^(k-1)+.+C(k,i)*(n-1)^(k-i)+.+C(k,k-2)*(n-1)^2+C(k,k-1)*(n-1)+1,
n^k-1=(n-1)^k+C(k,1)*(n-1)^(k-1)+.+C(k,i)*(n-1)^(k-i)+.+C(k,k-2)*(n-1)^2+k*(n-1)
因为n≠1,所以n-1≠0,
(n^k-1)/(n-1)²=[(n-1)^k+C(k,1)*(n-1)^(k-1)+.+C(k,i)*(n-1)^(k-i)+.+k*(n-1)]/(n-1)²
=(n-1)^(k--2)+C(k,1)*(n-1)^(k-3)+.+C(k,i)*(n-1)^(k-i-2)+.+C(k,k-2)+k/(n-1).(*),
显然(*)式中,除最后一项外均为整数,所以(*)式为整数必须且只需最后一项k/(n-1)为整数,
所以(n^k-1)/(n-1)²是整数等价于k/(n-1)为整数
即(n-1)²|(n^k-1)的充要条件是(n-1)|k.
证明:
n^k=[(n-1)+1]^k=(n-1)^k+C(k,1)*(n-1)^(k-1)+.+C(k,i)*(n-1)^(k-i)+.+C(k,k-2)*(n-1)^2+C(k,k-1)*(n-1)+1,
n^k-1=(n-1)^k+C(k,1)*(n-1)^(k-1)+.+C(k,i)*(n-1)^(k-i)+.+C(k,k-2)*(n-1)^2+k*(n-1)
因为n≠1,所以n-1≠0,
(n^k-1)/(n-1)²=[(n-1)^k+C(k,1)*(n-1)^(k-1)+.+C(k,i)*(n-1)^(k-i)+.+k*(n-1)]/(n-1)²
=(n-1)^(k--2)+C(k,1)*(n-1)^(k-3)+.+C(k,i)*(n-1)^(k-i-2)+.+C(k,k-2)+k/(n-1).(*),
显然(*)式中,除最后一项外均为整数,所以(*)式为整数必须且只需最后一项k/(n-1)为整数,
所以(n^k-1)/(n-1)²是整数等价于k/(n-1)为整数
即(n-1)²|(n^k-1)的充要条件是(n-1)|k.
设n是正整数,p是素数,(n,p−1)=k,证明同余方程x^n≡1(mod p)有k个解.
试证明 x/[n(n+k)]=(x/k)[1/n-1/(n+k)]
试证明:∑(i=1到n)C(n,i)*k^(n-i)*k*i=n*k*(k+1)^(n-1)
设B是元全为1的n阶(n>=2)矩阵,证明:B^k=n^k-1B
用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n•1•3•…•(2n-1)(n∈N)时,从“k”到“k+1”的证明
设k≥1是个奇数,证明对于任意正整数n数1∧k+2∧k+...+n∧k不能被n+2整除
设A为n阶矩阵,证明A^n=0的充要条件是A^(n+1)=0
sum(k,n)=1^k+2^k+...+n^k 的vb编码
用数学归纳法证明(n+1)+(n+2)+…+(n+n)=n(3n+1)2的第二步中,n=k+1时等式左边与n=k时的等式
证明当k是奇数,n是自然数的时候 n+1可以整除(n^k)+1
lim(n趋向于无穷)(k/n-1/n+1-1/n+2-‘‘‘‘-1/n+k)(其中K为与N无关的正整数)
证明n*(x+1)^(n-1)=Σ(k=0到n)k*c(n,k)*x^(k-1)