(2012•河西区一模)设函数f(x)=(1+x)2-ln(1+x)2.
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/09/22 04:14:39
(2012•河西区一模)设函数f(x)=(1+x)2-ln(1+x)2.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若当x∈[
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若当x∈[
1 |
e |
(1)函数定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞),
因为f′(x)=2[(x+1)−
1
x+1]=
2x(x+2)
x+1,
由f′(x)>0得-2<x<-1或x>0,由f′(x)<0得x<-2或-1<x<0.
∴函数的递增区间是(-2,-1),(0,+∞),递减区间是(-∞,-2),(-1,0).
(2)由f′(x)=
2x(x+2)
x+1=0得x=0或x=-2.由(1)知,f(x)在[
1
e-1,0]上递减,在[0,e-1]上递增.
又f(
1
e-1)=
1
e2+2,f(e-1)=e2-2,
∴e2−2−
1
e2−2=
(e2−2)2−5
e2>0
∴e2-2>
1
e2+2.所以x∈[
1
e-1,e-1]时,[f(x)]max=e2-2.故m>e2-2时,不等式f(x)<m恒成立.
(3)方程f(x)=x2+x+a,即x-a+1-ln(1+x)2=0,记g(x)=x-a+1-ln(1+x)2.
所以g′(x)=1-
2
1+x=
x−1
x+1.
由g′(x)>0,得x<-1或x>1,由g′(x)<0,得-1<x<1.
所以g(x)在[0,1]上递减,在[1,2]上递增,
为使f(x)=x2+x+a在[0,2]上恰好有两个相异的实根,只须g(x)=0在[0,1]和(1,2]上各有一个实根,于是有
g(0)≥0
g(1)<0
g(2)≥0,∴
因为f′(x)=2[(x+1)−
1
x+1]=
2x(x+2)
x+1,
由f′(x)>0得-2<x<-1或x>0,由f′(x)<0得x<-2或-1<x<0.
∴函数的递增区间是(-2,-1),(0,+∞),递减区间是(-∞,-2),(-1,0).
(2)由f′(x)=
2x(x+2)
x+1=0得x=0或x=-2.由(1)知,f(x)在[
1
e-1,0]上递减,在[0,e-1]上递增.
又f(
1
e-1)=
1
e2+2,f(e-1)=e2-2,
∴e2−2−
1
e2−2=
(e2−2)2−5
e2>0
∴e2-2>
1
e2+2.所以x∈[
1
e-1,e-1]时,[f(x)]max=e2-2.故m>e2-2时,不等式f(x)<m恒成立.
(3)方程f(x)=x2+x+a,即x-a+1-ln(1+x)2=0,记g(x)=x-a+1-ln(1+x)2.
所以g′(x)=1-
2
1+x=
x−1
x+1.
由g′(x)>0,得x<-1或x>1,由g′(x)<0,得-1<x<1.
所以g(x)在[0,1]上递减,在[1,2]上递增,
为使f(x)=x2+x+a在[0,2]上恰好有两个相异的实根,只须g(x)=0在[0,1]和(1,2]上各有一个实根,于是有
g(0)≥0
g(1)<0
g(2)≥0,∴
设函数g(x)=(x+1)ln(x+1)-x,f(x)=a(x+1)^2ln(x+1)+bx,曲线
设函数f(x)=x-(x+1)ln(x+1),
已知函数f(x)=x^2-2x+ln[(1-x)/(1+x)]
设函数f(x)=ln(x+1) 1求f(x)单调区间 2 x∈(0,2)f(x)<ax的平方
(2007•海南)设函数f(x)=ln(2x+3)+x2
设函数g(x)=(x+1)ln(x+1)-x,f(x)=a(x+1)^2ln(x+1)+bx,曲线y=f(x)在原点(0
(2014•河西区三模)设函数f(x)=ex-1+4x-4,g(x)=lnx-1x.若f(x1)=g(x2)=0,则(
设函数f(x)=1(x+1)ln(x+1)(x>-1且x≠0)
设函数f(x)=2X平方除X-2+ln(4-x)(1)求定义域(2)求f(3)
(2014•湖北模拟)设函数f(x)=x2+ln(x+1).
设f(x)={ln(x^2+a^2),若x>1; sinb(x-1),若x
已知函数f(x)=ln(1+x)-x+k/2x^2 求f(x)的单调性