大师作文网高等数学中值定理,需要做辅助函数
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/11/14 01:00:55
高等数学中值定理,需要做辅助函数
1、令F(x)=f(a)g(x)--g(a)f(x),则F'(x)=f(a)g'(x)--g(a)f'(x),对F用中值定理,存在c位于（a,b）,使得F(b)--F(a)=(b--a)F'(c),此为要证等式.
2、Taylor展式,记c=(a+b)/2,则
f(b)=f(c)+f'(c)(b--c)+f''(a1)/2*(b-c)^2=f(c)+f'(c)(b-a)/2+f''(a1)/2*(b--a)^2/4;
f(a)=f(c)+f'(c)(a--c)+f''(a2)/2*(a--c)^2=f(c)-f'(c)(b-a)/2+f''(a2)/2*(b--a)^2/4:
两式相加移项得f(b)+f(a)--2f(c)=(b--a)^2/4*【f''(a1)+f''(a2)】/2=f''(kessa)*(b-a)^2/4.
其中f''(kessa)=【f''(a1)+f''(a2)】/2是由介值定理可知能找到kessa使得等式成立.
3、先对f(x)和1/x用Cauchy中值定理得存在yita使得【f(b)--f(a)】/(1/b--1/a)=f'(yita)/(--1/yita^2)
再对f(x)用Lagrange中值定理得f(b)--f(a)=(b--a)f'(kessa),两式比较得
(b--a)f'(kessa)=yita^2*f'(yita)*(b--a)/ab,化简得结果.
2、Taylor展式,记c=(a+b)/2,则
f(b)=f(c)+f'(c)(b--c)+f''(a1)/2*(b-c)^2=f(c)+f'(c)(b-a)/2+f''(a1)/2*(b--a)^2/4;
f(a)=f(c)+f'(c)(a--c)+f''(a2)/2*(a--c)^2=f(c)-f'(c)(b-a)/2+f''(a2)/2*(b--a)^2/4:
两式相加移项得f(b)+f(a)--2f(c)=(b--a)^2/4*【f''(a1)+f''(a2)】/2=f''(kessa)*(b-a)^2/4.
其中f''(kessa)=【f''(a1)+f''(a2)】/2是由介值定理可知能找到kessa使得等式成立.
3、先对f(x)和1/x用Cauchy中值定理得存在yita使得【f(b)--f(a)】/(1/b--1/a)=f'(yita)/(--1/yita^2)
再对f(x)用Lagrange中值定理得f(b)--f(a)=(b--a)f'(kessa),两式比较得
(b--a)f'(kessa)=yita^2*f'(yita)*(b--a)/ab,化简得结果.
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