设m,n为正整数,m>n,集合A{1,2,3,...m}.集合B{1,2,3,...n},则满足B∩C≠空集的A的子集C

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/09/23 17:12:27

设m,n为正整数,m>n,集合A{1,2,3,...m}.集合B{1,2,3,...n},则满足B∩C≠空集的A的子集C共有______个.

依题,要使B∩C≠空集,那么C中一定要包含1,2,...,n这n个数中至少一个,并且对于n+1,n+2,...,m这m-n个数来说都是可有可无的.
开始分类讨论：
1）C中要包含1,2,...,n这n个数中的一个,又因为：对于n+1,n+2,...,m这m-n个数来说都是可有可无的
依题,种数有：Cn(1)*2^(m-n)
【注：Cn(1),从n个数中取一个,2^(m-n),有m-n个数是可有可无的,所以每一个数在与不在都是两种情况】
同理讨论：
2）C中要包含1,2,...,n这n个数中的2个,又因为：对于n+1,n+2,...,m这m-n个数来说都是可有可无的
依题,种数有：Cn(2)*2^(m-n)
【注：Cn(2),从n个数中取2个,2^(m-n),有m-n个数是可有可无的,所以每一个数在与不在都是两种情况】
3）……
……
n)C中要包含1,2,...,n这n个数中的n个【也就是全部】,又因为：对于n+1,n+2,...,m这m-n个数来说都是可有可无的
依题,种数有：Cn(n)*2^(m-n)
【注：Cn(n),从n个数中取n个,2^(m-n),有m-n个数是可有可无的,所以每一个数在与不在都是两种情况】
所以所有的种数就是：
Cn(1)*2^(m-n)+Cn(2)*2^(m-n)+Cn(3)*2^(m-n)+...Cn(n)*2^(m-n)
=2^(m-n)*[Cn(1)+Cn(2)+...+Cn(n)]
因为：Cn(0)+Cn(1)+Cn(2)+...+Cn(n)=2^n Cn(0)=1
所以：Cn(1)+Cn(2)+...+Cn(n)=2^n-1
所以种数是：2^(m-n)*(2^n-1)
=[2^m]-[2^(m-n)]
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