大师作文网已知函数f（x）=x2-ax，g（x）=lnx
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/11/13 02:05:31
已知函数f（x）=x2-ax，g（x）=lnx
（1）若f（x）≥g（x）对于定义域内的x恒成立，求实数a的取值范围；
（2）设h（x）=f（x）+g（x）有两个极值点x1，x2且x1∈（0，
（1）若f（x）≥g（x）对于定义域内的x恒成立，求实数a的取值范围；
（2）设h（x）=f（x）+g（x）有两个极值点x1，x2且x1∈（0，
| 1 |
| 2 |
（1）∵f（x）=x2-ax，g（x）=lnx，f（x）≥g（x），
∴a≤x-
lnx
x，（x＞0）．（1分）
设∅（x）=x-
lnx
x，∅′（x）=
x2+lnx−1
x2，（2分）
当x∈（0，1）时，∅′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，∅′（x）＞0，
∴∅（x）≥∅（1）=1，∴a∈（-∞，1]．（4分）
（2）h（x）=x2-ax+lnx，
∴h′（x）=
2x2−ax+1
x，（x＞0）（5分）
∴x1x2＝
1
2，
∵x1∈(0，
1
2)，∴x2∈（1，+∞），且ax1＝2x12+1，（i=1，2），（6分）
∴h（x1）-h（x2）=（x12−ax1+lnx1）-（x22−ax2+lnx2）
=（-x12−1+lnx1）-（-x22−1+lnx2）
=x22−x12+ln
x1
x2
=x22−
1
4x22−ln2x22，（x2＞1）．（8分）
设u（x）=x2-
1
4x2-ln2x2，x≥1，
则u′(x)＝
(2x2−1)2
2x3≥0，∴u（x）＞u（1）=
3
4−ln2．
即h(x1)−h(x2)＞
3
4−ln2．（10分）
（3）∵r（x）=f（x）+g（
1+ax
2），
∴r′(x)＝
a
1+ax+2x−a=
2ax(x−
a2−2
2a)
1+ax，
a2−2
2a＝
a
2−
1
a≤
2
2−
1
2＝
1
2，
∴r（x）在[
1
2，+∞）上为增函数，∴r（x0）max=r（1）=1-a+ln
1+a
2 ，
所以1-a+ln
1+a
2 ＞k（1-a2），（12分）
设∅（a）=1-a+ln
1+a
2 +k（a2-1），a∈（1，2），∅（1）=0，
有∅（a）＞0在a∈（1，2）恒成立，
∵∅′（x）=
a
1+a（2ka-1+2k）．
①k=0时，∵∅′(x)＝
−a
1+a，∴∅（a）在a∈（1，2）递减，
此时∅（a）＜∅（1）=0不符合；（13分）
②k＜0时，∵∅′(x)＝
2ka
1+a(a−
1
2k+1)，∅（a）在a∈（1，2）递减，
此时∅（a）＜∅（1）=0不符合；（14分）
③k＞0时，∵∅′(a)＝
2ka
1+a(a−
1
2k+1)，
若
1
2k−1≤1，则∅（a）在区间（1，2）上递增，此时∅（a）＞0成立，符合
若
1
2k−1≥1，则∅（a）在区间（1，min{2，
1
2k−1}）上递减，此时∅（a）＜∅（1）=0不符合；（15分）
综上得
k＞0
1
2k−1≤1，解得k≥
1
4，即实数k的取值范围为[
1
4，+∞）．（16分）
∴a≤x-
lnx
x，（x＞0）．（1分）
设∅（x）=x-
lnx
x，∅′（x）=
x2+lnx−1
x2，（2分）
当x∈（0，1）时，∅′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，∅′（x）＞0，
∴∅（x）≥∅（1）=1，∴a∈（-∞，1]．（4分）
（2）h（x）=x2-ax+lnx，
∴h′（x）=
2x2−ax+1
x，（x＞0）（5分）
∴x1x2＝
1
2，
∵x1∈(0，
1
2)，∴x2∈（1，+∞），且ax1＝2x12+1，（i=1，2），（6分）
∴h（x1）-h（x2）=（x12−ax1+lnx1）-（x22−ax2+lnx2）
=（-x12−1+lnx1）-（-x22−1+lnx2）
=x22−x12+ln
x1
x2
=x22−
1
4x22−ln2x22，（x2＞1）．（8分）
设u（x）=x2-
1
4x2-ln2x2，x≥1，
则u′(x)＝
(2x2−1)2
2x3≥0，∴u（x）＞u（1）=
3
4−ln2．
即h(x1)−h(x2)＞
3
4−ln2．（10分）
（3）∵r（x）=f（x）+g（
1+ax
2），
∴r′(x)＝
a
1+ax+2x−a=
2ax(x−
a2−2
2a)
1+ax，
a2−2
2a＝
a
2−
1
a≤
2
2−
1
2＝
1
2，
∴r（x）在[
1
2，+∞）上为增函数，∴r（x0）max=r（1）=1-a+ln
1+a
2 ，
所以1-a+ln
1+a
2 ＞k（1-a2），（12分）
设∅（a）=1-a+ln
1+a
2 +k（a2-1），a∈（1，2），∅（1）=0，
有∅（a）＞0在a∈（1，2）恒成立，
∵∅′（x）=
a
1+a（2ka-1+2k）．
①k=0时，∵∅′(x)＝
−a
1+a，∴∅（a）在a∈（1，2）递减，
此时∅（a）＜∅（1）=0不符合；（13分）
②k＜0时，∵∅′(x)＝
2ka
1+a(a−
1
2k+1)，∅（a）在a∈（1，2）递减，
此时∅（a）＜∅（1）=0不符合；（14分）
③k＞0时，∵∅′(a)＝
2ka
1+a(a−
1
2k+1)，
若
1
2k−1≤1，则∅（a）在区间（1，2）上递增，此时∅（a）＞0成立，符合
若
1
2k−1≥1，则∅（a）在区间（1，min{2，
1
2k−1}）上递减，此时∅（a）＜∅（1）=0不符合；（15分）
综上得
k＞0
1
2k−1≤1，解得k≥
1
4，即实数k的取值范围为[
1
4，+∞）．（16分）