(2013•德州)如图,在直角坐标系中有一直角三角形AOB,O为坐标原点,OA=1,tan∠BAO=3,将此三角形绕原点
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/22 06:57:54
(2013•德州)如图,在直角坐标系中有一直角三角形AOB,O为坐标原点,OA=1,tan∠BAO=3,将此三角形绕原点O逆时针旋转90°,得到△DOC,抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P是第二象限内抛物线上的动点,其横坐标为t,
①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E,连接PE,交CD于F,求出当△CEF与△COD相似时,点P的坐标;
②是否存在一点P,使△PCD的面积最大?若存在,求出△PCD的面积的最大值;若不存在,请说明理由.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P是第二象限内抛物线上的动点,其横坐标为t,
①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E,连接PE,交CD于F,求出当△CEF与△COD相似时,点P的坐标;
②是否存在一点P,使△PCD的面积最大?若存在,求出△PCD的面积的最大值;若不存在,请说明理由.
(1)在Rt△AOB中,OA=1,tan∠BAO=
OB
OA=3,
∴OB=3OA=3.
∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°而得到的,
∴△DOC≌△AOB,
∴OC=OB=3,OD=OA=1,
∴A、B、C的坐标分别为(1,0),(0,3)(-3,0).
代入解析式为
a+b+c=0
9a−3b+c=0
c=3,
解得:
a=−1
b=−2
c=3.
∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3;
(2)①∵抛物线的解析式为y=-x2-2x+3,
∴对称轴l=-
b
2a=-1,
∴E点的坐标为(-1,0).
如图,当∠CEF=90°时,△CEF∽△COD.此时点P在对称轴上,即点P为抛物线的顶点,P(-1,4);
当∠CFE=90°时,△CFE∽△COD,过点P作PM⊥x轴于点M,则△EFC∽△EMP.
∴
EM
MP=
EF
FC=
DO
OC=
1
3,
∴MP=3EM.
∵P的横坐标为t,
∴P(t,-t2-2t+3).
∵P在第二象限,
∴PM=-t2-2t+3,EM=-1-t,
∴-t2-2t+3=3(-1-t),
解得:t1=-2,t2=3(点P在第二象限,所以舍去),
∴t=-2时,y=-(-2)2-2×(-2)+3=3.
∴P(-2,3).
∴当△CEF与△COD相似时,P点的坐标为:(-1,4)或(-2,3);
②设直线CD的解析式为y=kx+b,由题意,得
OB
OA=3,
∴OB=3OA=3.
∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°而得到的,
∴△DOC≌△AOB,
∴OC=OB=3,OD=OA=1,
∴A、B、C的坐标分别为(1,0),(0,3)(-3,0).
代入解析式为
a+b+c=0
9a−3b+c=0
c=3,
解得:
a=−1
b=−2
c=3.
∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3;
(2)①∵抛物线的解析式为y=-x2-2x+3,
∴对称轴l=-
b
2a=-1,
∴E点的坐标为(-1,0).
如图,当∠CEF=90°时,△CEF∽△COD.此时点P在对称轴上,即点P为抛物线的顶点,P(-1,4);
当∠CFE=90°时,△CFE∽△COD,过点P作PM⊥x轴于点M,则△EFC∽△EMP.
∴
EM
MP=
EF
FC=
DO
OC=
1
3,
∴MP=3EM.
∵P的横坐标为t,
∴P(t,-t2-2t+3).
∵P在第二象限,
∴PM=-t2-2t+3,EM=-1-t,
∴-t2-2t+3=3(-1-t),
解得:t1=-2,t2=3(点P在第二象限,所以舍去),
∴t=-2时,y=-(-2)2-2×(-2)+3=3.
∴P(-2,3).
∴当△CEF与△COD相似时,P点的坐标为:(-1,4)或(-2,3);
②设直线CD的解析式为y=kx+b,由题意,得
如图在平面直角坐标系中o为坐标原点,直角三角形OAB的两条直角边在坐标轴上,角ABO=30度,OA=2.现将三角形OAB
如图,在平面直角坐标系中,AB垂直于x轴于点B,AB=3,tan角AOB=四分之三,将三角形OAB绕原点O逆时针旋转90
如图平面直角坐标系中,O为原点已知AB两点,A(3,0)B(5/12,m),tan∠AOB=1/2
如图6-8,在平面直角坐标系中,已知A(-3,4),B(-1,-2),O为坐标原点,求三角形AOB的面积.
如图,在平面直角坐标系中,三角形AOB的顶点O是坐标原点,点A坐标为(1,3),A,B两点关于直线y=x对称,
如图在Rt△AOB中,∠BAO=90°,O为坐标原点,B在x轴正半轴上,A在第一象限.OA和AB的长是方程 x2-3√5
如图,将△AOB置于平面直角坐标系中,其中点O为坐标原点,点A的坐标为(3,0),∠ABO=60°
矩形OABC在平面直角坐标系位置如图,OA=8,AB=6 将此矩形在坐标平面内按逆时针方向绕坐标原点O旋转30°,
如图,Rt△AOB中,∠A=90°,以O为坐标原点建立直角坐标系,使点A在x轴正半轴上,OA=2,AB=8,点C为AB边
如图,在平面直角坐标系内,已知OA=OB=2,∠AOB=30°. (1)点A的坐标为( ,); (2)将△AOB绕点O顺
如图,在直角坐标系中,点A的坐标为(-2,0),连接OA,将线段OA绕原点O顺时针旋转120°,
直角边长为2的等腰直角三角形AOB直角顶点O在直角坐标系的原点,边OA在坐标轴上,则点B的坐标可能是------?