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3道 柯西不等式 和 平均不等式 的

来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/10 20:36:50
3道 柯西不等式 和 平均不等式 的
1 解不等式组:y^2-2ax0 注意a>0 (写下主要过程就行,结果可能不太好打上来)
2 若有:(x/y^2+z^2)+(y/x^2+z^2)+(z/y^2+x^2)>=k/根号(x^2+y^2+z^2)
求k的最大值 (最大是(根号27)/2,咋来的?)
33 求证:x^2/y^2+z^2+yz)+(y^2/x^2+z^2+xz)+(z^2/y^2+x^2+xy) >=1 (没思路...)
3道 柯西不等式 和 平均不等式 的
1.数形结合.
y^2-2ax0 ,圆外面.
注意到圆和抛物线“相切”（其实只用说明只有一个交点即可.）
所以答案为：抛物线出去圆.（注意下边界不要出错）
2.即考虑[x/y^2+z^2)+(y/x^2+z^2)+(z/y^2+x^2]）*根号(x^2+y^2+z^2)
的最小值.
由于是齐次式,不妨假设x^2+y^2+z^2=1
于是成为：在条件x^2+y^2+z^2=1 下,求 [x/(1-x^2)+ y/(1-y^2)+ z/(1-z^2)]的最小值.这是很熟悉的：
注意到 x(1-x^2)在区间（0,1）上的最大值在 根号（3）／3 处取到：
2*〔x(1-x^2)〕^2=(2x^2)(1-x^2)(1-x^2)= 3倍根号(3)/2 * x^2
同理易得其他.最后由x^2+y^2+z^2=1 得出答案：3倍根号(3)/2
3.很常规的思想：利用xy=2/3 *[x^2/(y^2 + z^2)+ y^2/(x^2 + z^2)+ z^2/(y^2 + x^2)]
考虑x^2/(y^2 + z^2)+ y^2/(x^2 + z^2)+ z^2/(y^2 + x^2)的最小值：
后面是老题：由于其次式,不妨假设x^2+y^2+z^2=1.
于是上式=1/(y^2 + z^2)+ 1/(x^2 + z^2)+ 1/(y^2 + x^2)-3
注意到[1/(y^2 + z^2)+ 1/(x^2 + z^2)+ 1/(y^2 + x^2)][(y^2 + z^2)+(x^2 + z^2)+ (y^2 + x^2)]>=9 (这就是你所谓的柯西不等式)
于是1/(y^2 + z^2)+ 1/(x^2 + z^2)+ 1/(y^2 + x^2)>= 9/2
于是得到x^2/(y^2 + z^2)+ y^2/(x^2 + z^2)+ z^2/(y^2 + x^2)>=3/2
最后得到题目中式子>=1
等号在x=y=z时取到
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