(高中题目) 证明 4x6^n+5^(n+1) 被20除后余数为9
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/01 03:27:42
(高中题目) 证明 4x6^n+5^(n+1) 被20除后余数为9
要怎样去证明啊? 是要用归纳法还是甚麼方法呢 ?
可以把计算过程写出来吗?
第一步己经不是太了解, 你是怎样算出来的? 可以再详细一点吗?
要怎样去证明啊? 是要用归纳法还是甚麼方法呢 ?
可以把计算过程写出来吗?
第一步己经不是太了解, 你是怎样算出来的? 可以再详细一点吗?
一种方法:
(1+6+6^2+…+6^n)+(1+5+5^2+…+5^n)为整数,
求和得 (6^n-1)/5 +(5^n-1)/4为整数,
于是4×(6^n-1)+5×(5^n-1)是20的倍数,
展开得4x6^n+5^(n+1)-9是20的倍数,
也就是4x6^n+5^(n+1) 被20除后余数为9
得证.
补充说明:
这种类型的题,需要逆着推的思路.
要证明4x6^n+5^(n+1) 被20除后余数为9,
即证4x6^n+5^(n+1)-9是20的倍数,
发现4+5=9,
于是作变换4×(6^n-1)+5×(5^n-1).(证明此式是20的倍数)
再发现4×5=20,
于是提取20,
即证(6^n-1)/5 +(5^n-1)/4为整数.
观察(6^n-1)/5 和(5^n-1)/4的形式,
不难发现是(1+6+6^2+…+6^n)和(1+5+5^2+…+5^n)的和公式.
问题就简化到证明(1+6+6^2+…+6^n)+(1+5+5^2+…+5^n)为整数,
这是显而易见的——整数的整数次方必定是整数.
于是题目就得证了.
(1+6+6^2+…+6^n)+(1+5+5^2+…+5^n)为整数,
求和得 (6^n-1)/5 +(5^n-1)/4为整数,
于是4×(6^n-1)+5×(5^n-1)是20的倍数,
展开得4x6^n+5^(n+1)-9是20的倍数,
也就是4x6^n+5^(n+1) 被20除后余数为9
得证.
补充说明:
这种类型的题,需要逆着推的思路.
要证明4x6^n+5^(n+1) 被20除后余数为9,
即证4x6^n+5^(n+1)-9是20的倍数,
发现4+5=9,
于是作变换4×(6^n-1)+5×(5^n-1).(证明此式是20的倍数)
再发现4×5=20,
于是提取20,
即证(6^n-1)/5 +(5^n-1)/4为整数.
观察(6^n-1)/5 和(5^n-1)/4的形式,
不难发现是(1+6+6^2+…+6^n)和(1+5+5^2+…+5^n)的和公式.
问题就简化到证明(1+6+6^2+…+6^n)+(1+5+5^2+…+5^n)为整数,
这是显而易见的——整数的整数次方必定是整数.
于是题目就得证了.
求4x6^n+5^n+1除以20的余数是多少
5^n+C(n,1)5^(n-1)+C(n,2)5^(n-2)+.C(n,n-1)5 被7除所得的余数
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n为不可以被5整除的整数 (1)求n^2除以5的余数 (2)求n^4除以5的余数
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高中数学题证明1/n
已知69、90、125、被N除,余数相同(不为0),那么81被N除余数是______.
设n为一个正整数.证明存在无穷多个被n除余1的质数.
证明:偶数的平方被8除,余数为0或4,奇数的平方除以8,余数为1.
一道看似简单的数论题已知整数n不是5的倍数,则n4(n的四次方)+4被5除所得的余数为求解
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已知69,90,125,被N除,余数相同,N是多少?